樂趣在於思考

《思考的樂趣：Matrix67數學筆記》是來自顧森的一本數學科普書，這本書的內容是從作者上千篇部落格中節選而來的，分為“生活中的數學”、“數學之美”、“幾何的大廈”、“精妙的證明”和“思維的尺度”五部分。每一部分都有其精妙之處，閱後令人意猶未盡。

在“生活中的數學”中，你將瞭解到原來說謊和找東西背後還有概率論，人們不願承擔風險的原因，如何給商品定價等等，在這一部分，作者將數學與生活巧妙地結合起來，使數學不再乏味，也讓讀者在輕鬆閱讀的同時體會到數學的樂趣。

讓我們來看下面這個有趣的例子：

我的書桌有8個抽屜，分別用數字1到8編號。每次拿到一份檔案後，我都會把這份檔案隨機地放在某一個抽屜中。但我非常粗心，有 的概率會忘了把檔案放進抽屜裡，最終把這個檔案搞丟。

現在，我要找一份非常重要的檔案。我將按順序開啟每一個抽屜，直到找到這份檔案為止（或者很悲劇地發現，翻遍了所有抽屜都沒能找到這份檔案）。考慮下面三個問題。

1. 假如我開啟了第一個抽屜，發現裡面沒有我要的檔案。這份檔案在其餘7個抽屜裡的概率是多少？

2. 假如我翻遍了前4個抽屜，裡面都沒有我要的檔案。這份檔案在剩下的4個抽屜裡的概率是多少？

3. 假如我翻遍了前7個抽屜，裡面都沒有我要的檔案。這份檔案在最後一個抽屜裡的概率是多少？

繼續往下看之前，大家不妨先猜一猜，這三個概率值是越來越大還是越來越小？

事實上，三個概率值分別是、 和。可能這有點出人意料，這個概率在不斷地減小。但設身處地地想一下，這也不是沒有道理的。這正反映了我們實際生活中的心理狀態，與我們的直覺完全相符：假如我肯定我的檔案沒搞丟，每次發現抽屜裡沒有我要的東西時，我都會更加堅信它在剩下的抽屜裡；但如果我的檔案有可能搞丟了，那每翻過一個抽屜但沒找到檔案時，我都會更加慌張。我會越來越擔心，感到希望越來越渺茫，直到自己面對著第8個抽屜，忐忑地懷著最後一絲希望，同時心裡想：完了，這下可能是真丟了。

有一個非常巧妙的方法可以算出上面三個概率值來。

注意到，平均每10份檔案就有兩份被搞丟，其餘8份平均地分給了8個抽屜。假如我把所有搞丟了的檔案都找了回來，那麼它們應該還佔2個抽屜。這讓我們想到了這樣一個有趣的思路：在這8個抽屜後加上2個虛擬抽屜──抽屜9和抽屜10，這兩個抽屜專門用來裝我丟掉的檔案。我們甚至可以把題目等價地變為：隨機把檔案放在10個抽屜裡，但找檔案時不允許開啟最後2個抽屜。當我已經找過個抽屜但仍沒找到我想要的檔案時，檔案只能在剩下的個抽屜裡，但我只能開啟剩下的個抽屜，因此所求的概率是。當分別等於1、4、7時，這個概率值分別是、和。

如果把寫成，就很容易看出，當時，它是一個遞減函式。

在第二部分“數學之美”中，作者先是丟擲了“讓你立刻愛上數學的8個算數遊戲”，如果你從小就被數學考試折磨，不妨從這部分看起，體驗一下數學的趣味和妙處。接下來的“最折磨人的數學未解之謎”又會帶你來到一片蘊藏著無數珍寶卻看似荒蕪的土地，3x+1問題、克拉克斯基數列、吉爾佈雷斯猜想、辛馬斯特猜想等一系列未解之謎充滿了讓人神魂顛倒的魅力，如果你有興趣的話，就來一試身手吧！

第三部分是“幾何的大廈”。“有時候，比證明一個幾何問題更有意思的，是怎樣精確地把這個幾何圖形畫出來，”作者如是說。這部分包括“尺規作圖問題”、“單規作圖的力量”、“鏽規作圖也瘋狂”、“火柴棒搭成的幾何世界”、“摺紙的學問”、“萬能的連桿系統”、“探索圖形簡拼”。每一部分都是一個奇妙的幾何世界，在那裡，讀者可以充分體會到幾何之美。

接下來是“精妙的證明”，一個漂亮的數學結論，往往有一個漂亮的數學證明，在這一部分，作者蒐集了許多巧妙有趣的證明，每一個證明都會讓你拍案叫絕。最後一部分是“思維的尺度”，俄羅斯方塊可以永無止境地玩下去嗎？乘法之後是乘方，乘方之後又是什麼呢？作者通過有趣的話題使讀者享受數學概念間的聯絡、享受數學的思維模式。

本書的文章都是作者從自己的部落格裡精心挑選出來的，經過大量的添刪和修改，有機地組織成了五個相對獨立的部分。如果你是剛剛體會到數學之美的中學生，這本書會帶你進入一個課本之外的數學花園；如果你是奮戰在技術行業前線的工程師，這本書或許能不斷給你帶來新的靈感；如果你並不那麼喜歡數學，這本書或許會逐漸改變你的看法……不管怎樣，這本書都會陪你走過一段難忘的數學之旅。

本書推薦：
“本書一大特色，是力圖把道理說明白。作者總是用自己的語言來闡述數學結論產生的來龍去脈，在關鍵之處還不忘給出飽含激情的特別提醒。數學的美與數學的嚴謹是分不開的。數學的真趣在於思考......本書講了不少相當深刻的數學工作，其推理過程有時曲折迂迴，作者總是不畏艱難，一板一眼地力圖說清楚，認真實踐著古人“誨人不倦”的遺訓。這個特點使本書能夠成為不少讀者案頭床邊的常備讀物，有空看看，常能有新的思考，有更深的理解和收穫。”

——張景中，中國科學院院士

“事實上顧森的每篇文章都在向讀者展示數學確實好玩。數學好玩這個命題不僅對懂得數學奧妙的數學大師成立，對於廣大數學愛好者同樣成立。”

——湯濤，《數學文化》期刊聯合主編，香港浸會大學數學講座教授