每一個JavaScript開發者應該瞭解的浮點知識

在JavaScript開發者的開發生涯中的某些點，總會遇到奇怪的BUG——看似基礎的數學問題，但卻又覺得有些不對勁。總有一天，你會被告知JavaScript中的數字實際上是浮點數。試圖瞭解浮點數和為什麼他們如此奇怪，迎接你的將是一片又臭又長的文章。本文的目的是給JavaScript開發者簡單講解浮點數。

本文假設讀者熟悉的用二進位制表示的十進位制數字（即1被寫成1_b，2是10_b，3是11_b，4是100_b……等）。為了使文章表達得更清楚，在本章中，“十進位制”主要是指計算機內部的十進位制數字表示法（例如：2.718）。“二進位制”在本文中指計算機內部的表示。書面陳述將分別被稱為“以十為底″和“以二為底″。

浮點數

什麼是浮點數，我們開始認為我們見過各種數字，我可可以說1是一個整數，因為它沒有分數部分。

½被稱為分數。這意味著，將一平均分開為二，分數是浮點運算中一個非常重要的概念。

0.5通常被稱為一個十進位制數。然而，有一個很重要的區別必須闡明——0.5實際上是分數½的十進位制（以十為底）表示。本文中，我們將這種表示方法稱為點表示法。我們把0.5稱為有限表示（有限小數）因為其分數表示的數字是有限的——5後面沒有其他數字。表示⅓的0.3333…是無限表示的例子。這個想法在我們的討論非常重要。

還存在另一種表示全部整數，分數或小數的方法。你可能已經見過。它看起來像這樣：6.022×1023（注：這是阿伏伽德羅數，這是摩爾的化學溶液中的分子的數目）。它通常被稱為標準形式，或科學記數法。形式可以被抽象為像下面這樣：

D1.D2D3D4...Dp x BE

這種通用形式被稱作浮點數。

由p和D組成的序列——D1.D2D3D4...Dp——被稱為有效數字或尾數。p是有效數字的權重，通常稱為精度。有效數後的x是符號的一部分（本文中的乘法符號，將用*表示）。其後是基數，基數後是指數。該指數可以是正或負。

浮點數的好處是它可以用來表示任何數值。例如，整數1可以表示為1.0×10^0。光的速度可以表示為2.99792458×108 m/s。1/2可以被表示為二進位制形式0.1×2^0。

移除小數點

在上面的例子中，我們仍然保留小數點（小數點在數字裡面）。當用二進位制表示數值的時候，這帶來了一些問題。任意給定一個浮點數，比如π（PI），我們可以將其表示為一個浮點數：3.14159 x 100。用二進位制表示，它看起來像這樣：11.00100100 001111……假設在十六位機裡表示數字，這意味著數字被放在機器裡會是這樣的：11001001000011111。現在的問題是：小數點應該放在哪裡？這甚至不涉及指數（我們預設基數為2）。

如果數字變為5.14159？整數部分將變為101而不是11，增加了一位。當然，我們可以指定欄位的前N位屬於整數部分（即小數點的左邊），其餘屬於小數部分，但那是另一篇關於定點數的話題。

一旦我們移除小數點後，我們只有兩件東西需要記錄：指數和尾數。我們可以通過應用變換公式將小數點移除，使廣義浮點數看起來像這樣：

D1D2D3D4...Dp / (Bp-1) x BE

這就是我們得到的大多數二進位制浮點數。注意，現在有效數是一個整數。這使得它更易於儲存一個浮點數在機器上。事實上，應用最廣泛的二進位制浮點數表示方法是IEEE 754標準。

IEEE 754

JavaScript中的浮點數採用IEEE-754格式的規定。更具體的說是一個雙精度格式，這意味著每個浮點數佔64位。雖然它不是二進位制表示浮點數的唯一途徑，但它是目前最廣泛使用的格式。該格式用64位二進位制表示像下面這樣：

你可能注意到機器表示的方法和約定俗成的書面表示一點不同。在64位中，1位用於標誌位——用來表示一個數是正數還是負數。11位用於指數–這允許指數最大到1024。剩下的52位代表的尾數。如果你曾經好奇為什麼JavaScript中的某些東西如+0 和 -0，標誌位說明一切——JavaScript中的所有數字都有符號位。Infinity和NaN也被編碼進浮點數——2047作為一個特殊的指數。如果尾數是0，它是一個正無窮或負無限。如果不是，那麼它是NaN。

舍入誤差

有了上面對浮點數進行介紹，現在我們進入了一個更棘手的問題–舍入誤差。它是所有開發者使用浮點數開發的禍根，JavaScript開發者尤其如此，因為JavaScript開發者唯一可用的編號格式是浮點數。

上面提到的分數⅓不能在以10為底中有限表示。這實際上在任何數制中都存在。例如，在在以二為底的數字中，1 / 10不能有限表示。被表示為0.00110011001100110011……注意0011是無限重複的。這是因為這個特別的怪癖，舍入誤差造成的。

先看一個舍入誤差的例子。考慮一個最著名的無理數，PI：3.141592653589793……大多數人記得前五位（3.1415）非常棒——我們將使用這個例子說明舍入誤差，因此可以計算舍入誤差：

(R - A) / Bp-1

……其中R代表圓形的半徑，A代表一個實數。Bp代表以p為底的精度。所以謹記PI的舍入誤差：0.00009265……。

雖然這看起似乎不是很嚴重，讓我們試著用以二為底的數來檢驗這個想法。考慮分數1 / 10。在十進位制，它被寫作0.1。在二進位制中，它是：0.0011001100110011……假設我們僅保留5位尾數，可以寫為0.0001。但0.0001在二進位制表示法中實際是1 / 16（或0.0625）的表示！這意味著有舍入誤差為0.0375，這是相當大的。想象一下基本的加法運算，如0.1 + 0.2，答案返回0.2625！

幸運的是，浮點規範指定ECMAScript最多使用52個尾數，所以舍入誤差變得很小——規範的具體細節規避了大部分的舍入誤差。因為對浮點數進行算術運算的過程中誤差會被放大，IEEE 754規範還包括用於數學運算的具體演算法。

然而，應該指出的是，儘管如此，算術運算的關聯屬性（比如加法，減法，乘法和減法）不能得到保證在處理浮點數時，即使精度再高。我的意思是，（（x + y）+ A + B）不一定等於（（x + y）+（A + B））。

這是JavaScript開發人員的禍根。例如，在JavaScript中，0.1 + 0.2 = = = 0.3將返回假。我希望你現在明白這是為什麼。更糟的是，事實上，舍入誤差會在連續的數學運算中增加（積累）。

在JavaScript處理浮點數

設計處理JavaScript數字的問題，已經存在很多的建議，好壞參半。大多數這些建議都是在算數運算之前或之後完成取捨。

到目前位置我見過的寥寥無幾的建議就是把運算數全部儲存為整數（無型別），然後格式化顯示。通過一個例子可以看出，在賬戶中大量儲存的美分而不是美元（不知道舉的例子是什麼賬戶）。這裡有一個值得注意的問題——不是世界上所有的貨幣都是十進位制的（模里西斯幣：模里西斯盧比是模里西斯共和國的流通貨幣。幣值有25、50、100、200、500、1000和2000。輔幣單位為分）。同時，吐槽了日元和人民幣……。最終，你會重新建立浮點——有可能。

我見過處理浮點數最好的建議是使用庫，像sinfuljs或mathjs。我個人比較喜歡mathjs（但實際上，任何和數學相關的我甚至不會使用JavaScript去做）。當需要任意精度數學計算的時候，BigDecimal也是非常有用的。

另一個被多次重複的建議是使用內建的toPrecision()和toFixed()方法。使用他們時最容易犯得邏輯錯誤是忘記這些方法的返回值字串。所以如果你像下面這樣會得不到想要的結果：

function foo(x, y) {
    return x.toPrecision() + y.toPrecision()
}

> foo(0.1, 0.2)
"0.10.2"

設計內建方法toPrecision()和toFixed()的目的僅是用於顯示。謹慎使用！

結論

JavaScript中的數字是真正的浮點數。由於二進位制表示的固有缺陷，以及有限的機器空間，我們不得不面對一個充滿舍入誤差的規範。本文解釋了為什麼這些舍入誤差是什麼和為什麼。記住使用一個很棒的庫而不是自己去做一切。

注

原文：http://flippinawesome.org/2014/02/17/what-every-javascript-developer-should-know-about-floating-points/

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