我主要看了這個Category_theory,它介紹了Haskell中的範疇學應用，主要是Functor和Monad。
本文介紹範疇論和Functor。

範疇

組成部分：

• 物件集合

• 物件上的morphism（函式？）集合

• 一個定義在morphism上的composition。

laws

• 結合律：(f . g) . h = f . (g . h)
• g . id = id . g，設g : A -> B，前一個id定義在A上，後一個物件定義在B上。（在介紹這個定律時，文中有提到範疇中的每一個物件都要有identity morphism。

在haskell中的範疇

• 型別即物件

• 函式即morphism

• (.)即composition

Functor

Functor就是一種兩個範疇間的一一對映，設有源範疇C和目標範疇D：

• 它將C中的每一個物件對映到D中，即F(A) (A ∈ C中的物件集)

• 它將C中的每一個morphism f:A -> B對映到D中，即F(f) : F(A) -> F(B) (f ∈ C中的morphism集)

Functor laws

• F(id) = id

• 分佈律：F (f . g) = F f . F g

Haskell中的Functor

在haskell中的Functor typeclass即為Functor。可以看到，Functor的每一個例項都完成了這樣的對映：

• 因為haskell中的Functor都是某種“包裝”，所以型別構造子可以視為物件到物件的“F”

• fmap函式則完成了Functor中作用於morphism上的“F”， 即有原函式為f，則F(f)為fmap f

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設有源範疇C和目標範疇D

haskell中的Functor提供了兩個平行世界之間的對映關係，我們可以將F(A)視為一個黑箱，我們知道它容納了一個型別A，我們可以向黑箱中輸入（通過fmap）一個f:A -> B 得到黑箱F(B)，這樣便遮蔽了我們對箱子的操作，也就不需要對箱子有太多瞭解。

這種包裝的意義還在於包裝型別可以提供某種特性附加在操作之上。fmap f賦予了f運作黑箱的能力。這種能力依黑箱的不同而不同：

• 對於Maybe Functor，fmap使得f可以接受失敗的輸入
• 對於[] Functor, fmap使得f可以處理輸入集合
• 對於IO Functor，IO是真實的黑箱。

獲得能力的只是fmap f，f本身並無任何改變，f所關心的始終是被包裝的值上的操作。於是可以看到Functor提供了一層抽象——把“環境”和被“環境”所包裹的“內容”分開，即，使我們可以定義專注面向“內容”的函式f，而使用Functor輕易就可以把f應用到某種“環境”中去。

在這裡可以聯想高階函式：把高階函式本身看成一種“模式”，而輸入的函式看成“模式”運作所需要的可嵌入元件。於是我們通過抽出“模式”實現了極為高效的程式碼複用。

不理解的地方

原文中有一個註腳提到了seq會破壞範疇的第二條law，可能是我英語水平有限，沒有理解他到底什麼意思，只看懂了結論是seq會破壞Haskell中的一些比較好的數學性質。

看來有必要找找關於求值和seq方面比較全面的資料看看。

附：原文中範疇論概念到Haskell的轉換總結

定義Haskell中的範疇為Hask

• 我們僅運用Hask和它的子範疇
• 物件是型別
• Morphism是函式
• 得到一個型別返回另一個型別的型別是型別構造子
• 得到一個函式返回另一個函式的函式是高階函式
• 型別類，和它們所提供的多型性，建立了一條很好的途徑，使我們認識到這樣的事實：在範疇論中事物經常被定義在一些物件之上

最後一條在本文中沒有強調，簡單說一下：我們可以看到fmap這個定義在Functor typeclass下的函式具有範疇上單一（多型）的概念，由不同的instance具體以不同實現，最後在使用者的程式碼中它的表象又是單一（多型）的，是我們在使用的時候思維在概念的層次。（也許可以對比物件導向中的介面）