《概率論及其應用（卷1·第3版）》

空軍發表於2014-11-29

《概率論及其應用（卷1·第3版）》131頁習題33，證明：

$\frac{\lambda^k}{k!}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}{\ge}b(k;n,p)\ge\frac{\lambda^k}{k!}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}.$

證明： 先看113頁 6.2節二項分佈 的一個定理：

定理令 $b(k;n,p)$ 是具有成功概率為 $p$ ，失敗概率為 $q=1-p$ 的 $n$ 次伯努利試驗中，有 $k$ 次成功， $n-k$ 次失敗的概率，則

$b(k;n,p)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}.$

117頁 6.5節泊松逼近 (5.1)式： $\lambda=np$ ，於是 $p=\frac{\lambda}{n}$ ，從而我們有（注意到 $q=1-p$ ）：

$b(k;n,p)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k}$

$=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

$=\binom{n}{k}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}$

$=\frac{n!}{k!(n-k)!}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}$

$=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot\frac{n!}{(n-k)!n^k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}$

$=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k},$

當 $n\,{\ge}\,i\,{\ge}\,n-k+1$ 時，我們有：

$1=\frac{n}{n}\ge\frac{i}{n}>\frac{n-k}{n}=1-\frac{k}{n},$

因此：

$1\ge\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}>\left(1-\frac{k}{n}\right)^k,$

代入即可。

以上論證假設 $k>0$ ，直接驗證易知 $k=0$ 時原題成立。

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