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Page 134 : Millionaire

這個題，以我的智商，一開始沒有很好的理解他的題解。之後看程式碼就毀了，程式碼裡第一重迴圈示意的方向是反的，雖然只要輪數對了就好，不過這樣程式碼阻礙理解題解，我看了好久才反應過來。

程式碼倒數第三行

int i = (ll)X * n / 100000;

中的

X * n / 10000000

其實是

X / (1000000 / n)

也就是將100000分成｀n + 1(n = 2 ^ m)｀份，就可以得出Ｘ在其中是哪一份（的索引）。

接下來的一個細節問題是搜尋的邊界，程式碼裡有

int jub = min(i, n - i)

這裡jub就代表了當前錢數的投注（搜尋）區間[i - jub, i + jub]。

取i和n - i中的小值。

前一個很好理解：不能投注比自己當前錢數還多的錢。

不過後一個就不太明顯了。

首先知道動態規劃陣列（prv，nxt）的右邊界（即下標n）代表了錢數超出1000000的所有部分。

邏輯上，此時i + jub == n對應多個i - jub，即可以投注多種錢數區間，贏了以後都轉移到下標n，而輸了則轉移到對應區間。

所以右邊界乍看上去似乎不太合適，沒有列舉所有可能的輸錢區間（對應於i + jub > n的jub)。

這裡給出一個解釋：

容易理解，整個動態規劃陣列是單調非嚴格遞增的（持有的錢多更容易贏）。

所以對於剛才所說的多個i - jub對應一個i + jub == n。

prv[i + jub]此時是定值。

其實只需要看最大的一個 prv[i - jub]。當jub取n - i時，有n關於i的對稱點（即i - jub的最大值）i - (n - i)。

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Page 181 : 樹狀陣列的區間操作

樹狀陣列可以支援高效地查詢和修改數列的字首和。不過如果加入區間修改，問題就變複雜了。顯然不能對區間逐個修改。

考慮對於僅在一個區間[l, r)上做了修改（增加x）的情況，此時，可以發現，對於l之前的部分，字首和不變。對於r之後的部分，字首和增加了一個常數(r - l) * x。

關鍵是對於[l, r)之間的部分，字首和的增加量是x的函式，對於l <= j < r，有(j - l) * x。

擴充到多個區間時，我們有多個xi分別對應[li, ri)區間。

讓我們化簡一下問題，既然對於查詢在[li, ri)之外的部分，我們都可以用常數表示其增量。

那麼我們就關注對於特定的位置a，查詢[0, a)的和，我們只關注那些使li <= a < ri的[li, ri)。

現在的問題是如何高效地表示

(a - li) * xi

如果我們將所有的li向左延伸到0（對應地，需要減去常量li * xi），就有

a * xi

問題變成了如何高效地求解∑xi。

答案可以是另一個樹狀陣列。

整理一下

有一個樹狀陣列bit0, 我們希望對其實施區間修改操作。

為此，需要引入另一個樹狀陣列bit1。

對bit0上一個區間[l, r)增加x可以表示為

• 在bit0的l處增加-(l * x)
• 在bit1的l處增加x。

當查詢位置a越過了r時，我們還要撤銷x的效果

• 在bit1的r處增加一個-x。

這樣就撤銷了位置相關的修改，但要在bit0上加上常量增量，之前已經增加過-(l * x)（實際上是減少的意思）

• 在bit0的r處增加一個r * x

更一般地，如果操作得到的結果可以用i的n次多項式表示，那麼就可以使用n + 1個樹狀陣列來進行維護了。

這裡還是不明白，i的1次多項式的實際意義可以是區間修改，那麼i的更高次多項式又可以具有怎樣的意義呢？

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Page 194 : 計算DAG的最短路

計算DAG的最短路不需要使用Dijkstra演算法，可以簡單地通過DP求解。

對於這句話我的理解如下：

考慮Dijkstra演算法所能求解範圍——邊權為正的圖，DAG與其的區別在於前者可以有環路。

Dijkstra演算法處理環的方法是應用問題的貪心性，每次選取從起點出發最近抵達的點，這個點不可能有其它更短的路徑了。

DAG因為不存在環路，只要求解了一個點的所有前驅（沒有環才有這個定義）的最短路，自然就可以求解這個點最短路。

所以對點的選取順序要求變弱，只要按照（任一）拓撲序選點求行了。

另外，根據上下文，這裡可能想強調的是具有規則分層結構的DAG，對於這種DAG可以容易地寫出動態規劃演算法。比如本題的圖就很規則，按照集合的大小（遞減）分出不同層次，逐層求解。