被數論虐爆了(悲)
威爾遜定理
- \(\forall p\in prime , (p-1)! \equiv -1 (\bmod p)\)
為什麼啊？
對於 \(2\) 很顯然。
對於 \(p\) ，我們知道 \(inv(p-1)=p-1=-1\)，然後 \(inv(1)=1\)
然後因為 \(p\in prime\) ，所以對於任意 \(a\in[2,p-2]\) ，都有 \(inv(a)\) 與它唯一對應。因為 \(inv(inv(a))=a\) 。
所以 \(\prod\limits_{i=1}^{p-2}=1\) 所以就證完了。
正題
這道題要我們推式子。
\(C(i,j)=\frac{\prod_{k=i-j+1}^i}{j} \space \bmod j\)
然後我們知道整除的是 \(j\times\lfloor \frac i j\rfloor)\) 所以就變成
\(C(i,j)=(j-1)!\times \lfloor \frac i j\rfloor \bmod j\)
然後因為合數只有 \(4\) 是特殊的，除了 \(4\) 所有合數的因子都能不重複的在 \(1\to x\) 表示出來。
所以如果 \(a\) 是合數，有 \((a-1)!=0\)
如果 \(a\) 是質數， \((a-1)! =-1\)
然後對於每個質數，把它的貢獻篩出來插分一下就行了。
然後就沒了。時間複雜度 \(O(n\ln n)\) 。