點線共面問題

前言

• 平面的三條基本性質，也叫三條公理：

基本事實 1 ：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面 .

基本事實 2 ：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那麼這條直線在這個平面內 .

基本事實 3 ：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那麼它們有且只有一條過該點的公共直線 .

• 平面的基本性質的推論：

推論 1 ：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面 .

推論 2 ：經過兩條相交直線，有且只有一個平面.

推論 3 ：經過兩條平行直線，有且只有一個平面.

點線共面

• 證明點、線共面問題的理論依據是基本事實 1 和基本事實 2 . 常用方法有以下幾種：

(1)納入法，先由部分點、線確定一個平面，再證其餘的點、線都在這個平面內 .

(2)同一法，先由其中一部分點、線確定一個平面 \(\alpha\) ，其餘點、線確定另一個平面 \(\beta\)，再證平面 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 重合.

(3)反證法，假設不共面，結合題設推出矛盾 .

典例剖析

【2024屆高一訓練題】證明兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面[或 兩兩相交且不共點的三條直線在同一個平面內]。

已知：\(a\cap b=B\)，\(a\cap c=A\)，\(b\cap c=C\)，

求證：直線 \(a\)，\(b\)，\(c\)在同一平面內 .

法1：納入法，如圖所示，\(a\cap b=B\)，故由平面基本性質的推論 2 ^[1]可知，直線 \(a\)，\(b\) 確定一個平面，記為平面 \(\alpha\)，則 \(a\subset \alpha\)，\(b\subset \alpha\) .

又由於 \(a\cap c=A\)，\(c\cap b=C\)，且 \(a\subset \alpha\)，\(b\subset \alpha\) .則點 \(A\in \alpha\)，點 \(C\in \alpha\)， 故直線 \(AC\in \alpha\)，即 \(c\subset \alpha\)，

故直線 \(a\)、 \(b\)、 \(c\) 確定了一個平面 \(\alpha\)，即兩兩相交且不共點的三條直線在同一個平面內 .

法2：同一法，如圖所示，\(a\cap b=B\)，故由平面基本性質的推論 2 可知，直線 \(a\)，\(b\) 確定一個平面，記為平面 \(\alpha\)，則 \(a\subset \alpha\)，\(b\subset \alpha\) .

又由 \(b\cap c=B\)，故由平面基本性質的推論 2 可知，直線 \(b\)，\(c\) 確定一個平面，記為平面 \(\beta\)，則 \(b\subset \beta\)，\(c\subset \beta\) .

對於點 \(B\) 而言，\(B\in \alpha\)，且 \(B\in\beta\)，

對於點 \(A\) 而言，\(A\in \alpha\)，且 \(c\subset\beta\)，\(A\in c\)，故點 \(A\in \beta\)，

對於點 \(C\) 而言，\(C\in \beta\)，且 \(C\in b\)，又 \(b\subset\alpha\)，故點 \(C\in \alpha\)，

故不共線的三個點 \(A\)，\(B\)，\(C\) 既在平面 \(\alpha\) 內，也在平面 \(\beta\) 內，

故平面 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 重合，即直線 \(a\)，\(b\)，\(c\)在同一平面內 .

法3：反證法，略。

【2024屆高一訓練題】求證：如果兩兩平行的三條直線都與另一條直線相交，那麼這四條直線共面。

已知：\(a//b//c\)，\(l\cap a=A\)，\(l\cap b=B\)，\(l\cap c=C\) .

求證：直線 \(a\)、 \(b\)、 \(c\) 和 \(l\) 共面 .

證明：同一法，如圖所示，由於 \(a//b\)，故由平面基本性質的推論 3 可知，直線 \(a\)，\(b\) 確定一個平面，記為平面 \(\alpha\)，

由於 \(l\cap a=A\)，\(l\cap b=B\)，所以 \(A\in a\)，\(B\in b\)，

又 \(A\in l\)，\(B\in l\)，由基本事實 2 可知，有 \(l\subset \alpha\)，

由於 \(b//c\)，故由平面基本性質的推論 3 可知，直線 \(b\)，\(c\) 確定一個平面，記為平面 \(\beta\)，

由於 \(l\cap c=C\)，\(l\cap b=B\)，所以 \(C\in c\)，\(B\in b\)，

又 \(C\in l\)，\(B\in l\)，由基本事實 2 可知，有 \(l\subset \beta\)，

又 \(b\subset \alpha\)，\(b\subset \beta\)， \(l\cap b=B\)，

這樣經過平面 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 內的公共點 \(B\) 有了兩條不同的直線 \(l\) 和 \(b\)，

由基本事實 3 可知，平面 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 重合，

故直線 \(a\)、 \(b\)、 \(c\) 和 \(l\) 共面 .

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1. 經過兩條相交直線，有且僅有一個平面，簡稱為兩條相交直線確定一個平面。 ↩︎