一個整型陣列裡除了一個或者兩個或者三個數字之外，其他的數字都出現了兩次。請寫程式找出這兩個只出現一次的數字。要求時間複雜度是O(n)，空間複雜度是O(1)

yangxi_001發表於2014-06-10
陣列時間複雜度
粗糙的給出了分析，最近比較累，以後會改進的。
題目中包括三個小的問題，由簡單到複雜：
1，如果只有一個出現一次，考察到異或的性質，就是如果同一個數字和自己異或的活結果為零，那麼迴圈遍歷一遍陣列，將陣列中的元素全部做異或運算，那麼出現兩次的數字全部異或掉了，得到的結果就是隻出現一次的那個數字。
2，如果有兩個只出現一次的數字，設定為a,b。也是應用異或，但是陣列元素全部異或的結果x=a^b，因為a,b是不相同的數字，因此x肯定不為0。對於x，從低位到高位開始，找到第一個bit位為1的位置設定為第m位，這個第m位的bit肯定來自a或者來自b，不可能同時a,b的第m位（從低到高位）都為1。這樣，就可以根據這個第m位就可以把陣列分為兩個部分，一組為第m位為0，一組為第m位為1.這樣，就把問題分解成了求兩個陣列中只出現一次的數字了。下面首先給這部分的程式和例項分析：
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  1. <span style="font-family:FangSong_GB2312;font-size:14px;">#include<stdio.h>  
  2. int get_first_position(int num)  
  3. {//從低位開始找到第一個位1的bit位  
  4.     int index=1;  
  5.     int i=0;  
  6.     while(i<32)  
  7.     {  
  8.         if((num&(1<<i))==(1<<i))  
  9.             break;  
  10.         else  
  11.         {  
  12.             index++;  
  13.             i++;  
  14.         }  
  15.     }  
  16.     return index;  
  17. }  
  18. int is_bit_one(int num,int index)  
  19. {//判斷給定的索引位置的bit位是否為1  
  20.     num=(num>>index);  
  21.     return num&1;  
  22. }  
  23. void get_two_unique_num(int *a,int n,int *num1,int *num2)  
  24. {  
  25.     int exclusive_or_result=0;  
  26.     *num1=0;  
  27.     *num2=0;  
  28.     for(int i=0;i<n;i++)  
  29.         exclusive_or_result^=a[i];  
  30.     int index=get_first_position(exclusive_or_result);  
  31.     for(i=0;i<n;i++)  
  32.         if(is_bit_one(a[i],index))  
  33.             (*num1)^=a[i];  
  34.     for(i=0;i<n;i++)  
  35.         if(!is_bit_one(a[i],index))  
  36.             (*num2)^=a[i];  
  37. }  
  38. void main()  
  39. {  
  40.     int a[]={2,2,4,4,6,6,3,5};  
  41.     int num1,num2;  
  42.     get_two_unique_num(a,sizeof(a)/sizeof(int),&num1,&num2);  
  43.     printf("%d\t%d\n",num1,num2);  
  44. }</span>  

3，考慮給定陣列中有三個單獨出現一次的數字，這個會比有兩個的稍微複雜。分步分析，設定這三個數為a,b,c:
（1）將陣列中的數字全部異或，得到的結果x=a^b^c，但是x不是a，b，c中的其中一個，假設x=a，那麼b^c=0說明b=c，與題目給定的條件矛盾。
(2)設定f(n)可以像2中的那樣，從低位開始，找到第一個bit為1的位置，f(x^a),f(x^b),f(x^c)得到的值肯定都不為0，因為x^a,x^b,x^c本身就不為0。f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)結果不為0。因為f(x^a)^f(x^b)的結果中可能為0，也可能有兩個bit為1。如果假設f(x^c)的結果bit為1的位置與f(x^a)^f(x^b)的其中一個重合，則f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)結果中只有1個bit為1，如果不重合的話那麼有3個bit位為1。
(3)這便可以推斷出f(x^a)^f(x^b)^f(x^c)中至少有一個bit位為1。假設從低位到高位的第mbit位為1.那麼可以得出結論x^a,x^b,x^c中有一個或者三個的第m位為1（不可能有兩個，因為有兩個的話，異或的結果就為0了）。
（4）證明，x^a,x^b,x^c中只有一個第m-bit位為1.假設他們的第m位都為1，那麼x的第m位為0，但是x=a^b^c其第m位肯定為1，所以假設不成立。那麼相反，假設x的第m位為1，a,b,c的第m位都為0，也不成立，因為x=a^b^c。所以綜上所述x^a,x^b,x^c中只有一個第m位為1。那麼這個問題就好辦了。根據這個第m位找到第一個只出現一次的數字。然後剩下兩個就是問題2所描述的問題。下面給出程式碼：
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  1. #include<stdio.h>  
  2. int get_first_bit(int num)  
  3. {  
  4.     return num&~(num-1);  
  5. }  
  6. void get_two_unique_num(int *a,int n,int *num1,int *num2)  
  7. {  
  8.     int result_code=0;  
  9.     for(int i=0;i<n;i++)  
  10.         result_code^=a[i];  
  11.     int diff=get_first_bit(result_code);  
  12.     *num1=0;  
  13.     *num2=0;  
  14.     for(i=0;i<n;i++)  
  15.     {  
  16.         if(a[i]&diff)  
  17.         {  
  18.             (*num1)^=a[i];  
  19.         }  
  20.         else  
  21.         {  
  22.             (*num2)^=a[i];  
  23.         }  
  24.     }  
  25. }  
  26. void get_three_unique_num(int *a,int n,int *num1,int *num2,int *num3)  
  27. {  
  28.     int result_code=0;  
  29.     for(int i=0;i<n;i++)  
  30.         result_code^=a[i];  
  31.     int flag=0;  
  32.     for(i=0;i<n;i++)  
  33.         flag^=get_first_bit(result_code^a[i]);  
  34.     flag=get_first_bit(flag);  
  35.     *num1=0;  
  36.     for(i=0;i<n;i++)  
  37.     {  
  38.         if(get_first_bit(result_code^a[i])==flag)  
  39.         {  
  40.             (*num1)^=a[i];  
  41.         }  
  42.     }  
  43.     for(i=0;i<n;i++)  
  44.     {  
  45.         if(a[i]==(*num1))  
  46.         {  
  47.             int temp=a[i];  
  48.             a[i]=a[n-1];  
  49.             a[n-1]=temp;  
  50.             break;  
  51.         }  
  52.     }  
  53.     get_two_unique_num(a,n-1,num2,num3);  
  54. }  
  55. void main()  
  56. {  
  57.     int a[]={2,2,4,4,6,6,3,5,7};  
  58.     int num1,num2,num3;  
  59.     get_three_unique_num(a,sizeof(a)/sizeof(int),&num1,&num2,&num3);  
  60.     printf("%d\t%d\t%d\n",num1,num2,num3);  
  61. }  


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