謹以此文，悼念我炸裂的計應數期中考試。下次不僅要帶一個腦子做題，還得帶一個腦子盯著它做題，不然第一個腦子容易跑偏剎不住車。得去黑市看一眼最近腦子市價如何，如果太貴還得賣點東西湊一湊。
簡介：你說的對，但是「集英社」是「茶園」自主研發的一款全新開放問題探究專案。課題發生在一個被稱作「六教-A016」的演播教室，在這裡，被姚選中的人將被授予「指數級別作業」，導引「複分析」之力。你將扮演一位名為「學生」的神秘角色，在自由的「授課」中邂逅引數各異、能力獨特的「公式」們，用它們一起研究開放問題，找回失散的大腦——同時，逐步發掘「掛科」的真相。
Section 1.課堂內容總結
Week 1.
Probability Space \(P=(U,p)\) 是用來描述隨機事件的工具，其中 \(U\) 被稱作 universe，\(p\) 是 probability function。
event 是 \(U\) 的一個子集。
Union Bound Formula：令事件 \(T,T_1,\dots\)，且 \(T\sube\bigcup T_i\)，則 \(\Pr(T)\leq\sum\Pr(T_i)\)；如果 \(T_i\) 構成 \(T\) 的一組劃分，則有 \(\Pr(T)=\sum\Pr(T_i)\)。
Conditional Probability \(\Pr(S|T)=\dfrac{\Pr(S\cap T)}{\Pr(T)}\)。特別地，如果 \(\Pr(T)=0\) 那麼條件機率為零。
Chain Law of Conditional Probability \(\Pr(S_1\cap S_2\cap\dots)=\prod\Pr(S_i\mid S_1\cap S_2\cap\dots\cap S_{i-1})\)。
Law of total probability：如果 \(T\sube\bigcup T_i\)，則 \(\Pr(T)\leq\sum\Pr(T_i)\Pr(T|T_i)\)。如果 \(T_i\) 不交則取等號。
常用的處理 \(\prod(1+x)\)，其中 \(x\) 接近 \(0\) 的方法是，放縮為 \(\prod e^x\)。
Week 2.
Random Variable \(X\) 是 \(U\to\R\) 的對映。event 可以被看作是 \(U\to\{0,1\}\) 的一種特殊機率。期望是機率與權值之積的和。
Law of Linear Expectation。機率具有線性性，就算不同事件間彼此並非獨立。
Distributive Law for Expectation：若 \(T_i\) 構成 \(U\) 的劃分，則 \(E(X)=\sum\Pr(W_i)E(X|W_i)\)。
Markov's Inequality：對於定義在非負集合 \(U\) 上的隨機變數 \(X\)，\(\Pr(X>cE(X))<\dfrac1c\)。
Chebyshev's Inequality：\(\Pr(|X-E(X)|>c\sigma(X))<\dfrac1{c^2}\)。或者，\(\Pr(|X-E(X)|>c)<\dfrac{V(X)}{c^2}\)。
Chernoff Bound：對於獨立的擲硬幣實驗 \(X_1,\dots,X_n\)，第 \(i\) 次以 \(b_i\) 的機率取 \(1\)，\(1-b_i\) 取 \(0\)，則 \(\Pr(X\geq(1+\delta)\mu)\leq\left(\dfrac{e^\delta}{(1+\delta)^{1+\delta}}\right)^\mu\)。\(\Pr(X\leq(1-\delta)\mu)\leq\left(\dfrac{e^{-\delta}}{(1-\delta)^{1-\delta}}\right)^\mu\)。同時有推論：\(\Pr(X\geq(1+\delta)\mu)\leq e^{-1/3\delta^2\mu}\)，\(\Pr(X\leq(1-\delta)\mu)\leq e^{-1/2\delta^2\mu}\)。
Chernoff Bound 僅適用於重複拋硬幣問題，但並非所有問題都能透過重複拋硬幣描述。在更廣泛的場合，我們有如下的：
Hoeffding's Inequality：對於 \(X_i\in(a,b)\)，有 \(\Pr(|\sum X_i-E(X_i)|\geq t)\leq2\exp(\dfrac{-2t^2}{n(b-a)^2})\)。在其不同分佈時，也有 \(\Pr(|\sum X_i-E(X_i)|\geq t)\leq2\exp(\dfrac{-2t^2}{\sum(b_i-a_i)^2})\)。事實上，如果把內層的絕對值撤掉，那麼右側外部的 \(2\) 亦可撤掉。
Week 3.
要證明一個東西的級別，一個通用的想法是，用 Union Bound 證下界，用 Chebyshev's Inequality 證上界。但是 Chebyshev 需要算方差。
例如，Ramsay Number 列舉所有的 \(K\)-子集並計算其成團/獨立集機率並求和，當 \(n\) 充分小時求和得到的值小於 \(1\)，因此必然存在所有子集均不合法的機率。同理，隨機圖最大團的下界也是用 Union Bound 證。隨機圖最大團貪心演算法的下界同理。
上界的話，Ramsay Number 是證了遞推關係 \(R(s,t)\leq R(s-1,t)+R(s,t-1)\)，而隨機圖最大團則是 Chebyshev's Inequality，但是 Variance 很難證（也沒辦法）。隨機圖最大團貪心演算法也是。
Randomized BSA：\(i\) 要送到 \(v_i\)。演算法是隨機一組 \(\sigma(i)\)，先送到 \(\sigma\) 再送到 \(v\)。每步以 \(1-o(1)\) 的機率在 \(6n\) 內達成。
Week 4.
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Cauchy-Goursat 基本定理：若 \(f(z)\) 在簡單閉曲線 \(C\) 及其圍成區域內處處解析，那麼 \(f(z)\) 沿 \(C\) 積分為零，也即 \(\oint_Cf(z)\d z=0\)。【注意：要求是簡單、且自身及圍成的區域處處解析）
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直接推論：單連通域內處處解析函式沿任意簡單閉曲線積分為零。
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進一步推廣至多連通域，得到 複合閉路定理：令 \(C\) 是多聯通域 \(D\) 中簡單閉曲線，\(C_1,\dots,C_k\) 是 \(C\) 內部兩兩不交、不互相包含的曲線集合，且有 \(C,C_1,\dots,C_k\) 所夾區域被完全包含於多連通域內（也即，\(C_1,\dots,C_k\) 從多連通域內“挖掉”了若干不屬於多連通域的部分），則對於在 \(D\) 中解析的 \(f\)，那麼：
- \(\oint_Cf(z)\d z=\sum\oint_{C_i}f(z)\d z\)，其中所有曲線均取（自然）正向。
- \(\oint_\Gamma f(z)\d z=0\)，其中 \(\Gamma\) 指取正向的 \(C\) 和取負向的 \(C_1,\dots,C_k\)。
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同時又有推論 閉路變形原理：解析函式沿閉曲線積分不因閉曲線的連續變形而改變值，只要閉曲線的變形不經過奇點。
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\(\dfrac{f(z)}{z-z_0}\) 在 \(z_0\) 可能不解析；但是可以透過不斷向 \(z_0\) 縮小，讓 \(f(z)\) 的值逐漸接近 \(f(z_0)\)，\(\oint_C\dfrac{f(z)}{z-z_0}\d z\) 接近 \(\oint_C\dfrac{f(z_0)}{z-z_0}\d z\)；後者因為 \(\oint_C\dfrac1{z-z_0}\d z\) 可以連續變形為套著 \(z_0\) 的圓，而這個圓上 \(\dfrac1{z-z_0}\) 的積分前面提到過是 \(2\pi\i\)，因此這個值有接近 \(f(z_0)2\pi\i\) 的期望。
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事實上，有 Cauchy 積分公式：在區域 \(D\) 內處處解析的 \(f\)，內部完全含於 \(D\) 的 \(C\)，\(C\) 內部任一點 \(z_0\)，有 \(f(z_0)=\dfrac1{2\pi\i}\oint_C\dfrac{f(z)}{z-z_0}\d z\)。透過 \(\epsilon-\delta\) 語言可證得。
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取 \(C\) 為套著 \(z_0\) 的圓周，得到 \(f(z_0)=\dfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\pi})\d\theta\)，也即，解析函式在圓心處的值等於其在圓周上的平均。
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解析函式的導數仍為解析函式，事實上解析函式 \(\in\scr C^\infty\)，且 \(f^{(n)}(z)=\dfrac{n!}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\d\xi\)（高階導數公式），其中 \(C\) 是任一環繞 \(z\) 的正向簡單閉曲線，其內部全含於 \(D\)。證明就靠嗯歸納。Cauchy 積分公式是高階導數公式 \(n=0\) 時的特例。
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雖然其是透過積分來表示導數，不過最常見的應用還是透過高階導數來算環路積分。
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Cauchy 不等式：\(|f^{(n)}(z_0)|\leq\dfrac{n!M(R)}{R^n}\)，其中 \(M(R)\) 是以 \(z_0\) 為圓心的 \(R\)-圓周上 \(|f(z)|\) 的 \(\max\)。
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解析函式的 Laurent 展開定理：設 \(f(z)\) 在圓環域 \(R_1<|z-z_0|<R_1\) 內解析，則在圓環域內 \(f\) 必可以唯一展成雙邊冪級數 \(f(z)=\sum c_n(z-z_0)^n\)，其中 \(c_n=\dfrac1{2\pi\i}\oint_C\dfrac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\d\xi\)，其中 \(C\) 是環繞 \(z_0\) 的任一正向簡單閉曲線。這個雙邊冪級數被稱作 Laurent 級數，正冪項部分被稱作 解析部分，負冪項部分被稱作 主要部分。
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稱 \(z_0\) 是一個 極點
pole，如果其主要部分有有限項；其主要部分的最高（？）項次數如果是 \(-n\)，則稱其是一個 \(n\) 階奇點，或者是a pole of order n。其主要部分中負一次項係數被稱作 留數residue。 -
\(n\) 階零點，如果其解析，並且可以寫成 \((z-z_0)^m\varphi(z)\)，且 \(\varphi(z_0)\neq0\)。
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\(f\) 有 \(n\) 階極點是 \(\dfrac1f\) 有 \(n\) 階零點的充要條件。
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留數定理：對於 \(m\) 階極點 \(z_0\)，\(\text{Res}(f,z_0)=\dfrac1{(m-1)!}\lim\limits_{z\to z_0}\dfrac{\d^{m-1}}{\d z^{m-1}}((z-z_0)^mf(z))\)。
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無窮遠處留數的定義是 \(\dfrac1{2\pi i}\int_{C^-}f(z)\d z\)，其中 \(C^-\) 是繞原點負向，即為繞無窮遠正向。此時，得到結論：如果包含無窮遠極點在內僅有有限個極點，且極點都是孤立極點，那麼所有留數和為零。
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\(\text{Res}(f,\infty)=-\text{Res}(f(z^{-1})z^{-2},0)\)。算內極點的留數可以轉為算外極點的留數。
矩陣樹定理。證明可以使用 Cauchy-Binet，也可以容斥，即欽定根後隨機選鄰邊為父親然後容斥環。
另有 \(\#SP=\dfrac1n\lambda_2\dots\lambda_n\)，其中 \(\lambda_1=0\)。這是因為，\(\prod(\lambda-\lambda_i)=\det(\lambda I-L_G)'=(-1)^{n-1}\sum\det\left(L_G^{(i)}(\lambda)\right)\)。代入 \(\lambda=0\)，得到 \((-1)^{n-1}\prod\lambda_i=(-1)^{n-1}n\#SP\).
Week 5.
FKT 演算法。
對於反對稱矩陣，定義 \(\text{Pf}=\sum\limits_\sigma\text{sgn}(\sigma)\prod A_{\sigma_{2i-1},\sigma_{2i}}\)。
考慮任兩個 Pfaffian 中元素 \(M_1,M_2\)，其中的邊拼起來拼成一組排列的 cycle 形式。因此 \(\det=\text{Pf}^2\)。
Pfaffian 中元素如果被恰當定向，使得所有的完美匹配的 \(\text{sgn}\) 都同號，則直接對行列式開根即得 Pfaffian 的絕對值，也即完美匹配數目。使得每個面上順時針邊數目都是偶數即可。
演算法是隨機生成樹並定向，然後定向其它東西。
Pfaffian 除了被用於平面圖完美匹配計數，亦可判定任意圖是否存在完美匹配（用 Schwartz-Zippel 定理），乃至解決尚無確定性解法的恰出現 \(K\) 條紅邊的完美匹配計數（引入額外元 \(y\)）
還是記一下 Schwartz-Zippel 定理吧。對於元數任意，但是次數不超過 \(d\) 的多項式，任意在有限集 \(S\) 中賦值並賦到根的機率是 \(d/|S|\)。證明關於元數歸納。
Week 6.
複雜度概念。
L：\(\text{polylog}(n)\) 空間 可解。
PSPACE：\(\text{poly}(n)\) 空間 可解。
EXP：\(2^{\text{poly}(n)}\) 時間 可解。
BPP：以一個恆機率出錯（即，原本有解被判無解）。不斷重複可以讓出錯機率趨於零。
\(L\sube P\sube NP\sube PSPACE\sube EXP\)。
NP-Hard：所有 NP 都可以規約到的問題。
NP-Complete：同時是 NP-Hard 和 NP。
如果一個 NPC 問題可以規約到另一個 NP 問題，則該問題亦是 NPC 的。
Section 2.[Wasserman] 書上內容總結
Chapter 1.
兩個變數獨立有著 \(A\amalg B\) \amalg 的奇怪符號；不獨立則有著 \(A\operatorname{一圈奇怪的彈簧符號}B\) 的寫法。
Bayes 公式：對於 \(U\) 的劃分 \(T\)，\(\Pr(T_i|B)=\dfrac{\Pr(B|T_i)\Pr(T_i)}{\sum\Pr(B|T_j)\Pr(T_j)}\)。其中，分母其實是 \(\Pr(B)\)，分子其實是 \(\Pr(B\cap T_i)\)。
Chapter 2.
對於隨機變數 \(X\)，其大寫 \(F_X(x)=\Pr(X\leq x)\)，被稱作 cumulative distribution function 或者 CDF。其是 \(\R\to[0,1]\) 的函式，不論離散的 \(X\) 還是連續的 \(X\) 都有如此定義。
一切非降、正則（在負無窮處趨於 \(0\)，正無窮處趨於 \(1\)）、右連續的函式都可以是某個隨機變數的 CDF。
離散型隨機變數是僅能取到可數個取值的隨機變數。離散變數可以定義 probability function 或 probability mass function \(f_X=\Pr(X=x)\)。
連續性隨機變數是存在全積分為 \(1\) 的函式 \(f_X\) 且滿足 \(\Pr(a<X<b)=\int_a^bf_X(x)\d x\) 的隨機變數。\(f_X\) 被稱作 probability density function，且在所有 \(F_X\) 可微處均有 \(f_X(x)=F'_X(x)\)。
inverse CDF 或者 quantile function \(F^{-1}(q)=\inf\{x:F(x)>q\}\)。如果 \(F\) 單增且連續那麼 \(F,F^{-1}\) 互為反函式。可以由此定義各種 first quantile, median, third quantile。
兩個 \(F\) 相同的函式被稱作 equal in distribution，但並不意味著它們是同一個變數。
marginal mass function 是對二維的 probability mass function 投到一維的結果。同理有 marginal density function。
兩個隨機變數獨立，如果對於一切 \(A,B\)，\(\Pr(X\in A,Y\in B)=\Pr(X\in A)\Pr(Y\in B)\)。
對於連續隨機變數，如果 \(f(x,y)=g(x)h(y)\)（\(g,h\) 不一定是 PDF）那麼 \(X,Y\) 獨立。
條件 PMF \(f_{X|Y}(x|y)=\Pr(X=x|Y=y)\)。同理有條件 PDF \(f_{X|Y}(x|y)=\dfrac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}\)。
稱若干隨機變數 IID（independend and identically distributed），如果它們獨立並且服從於同一組分佈 \(F\)，記作 \(x_1,\dots,x_n\sim F\)。
如果對於隨機變數 \(X\)，定義比如說 \(Y=r(X)\)，如何計算 \(Y\) 的分佈？
求出 \(A_y=\{x|r(x)\leq y\}\)，則 \(F_Y(y)=\int_{A_y}f_X(x)\d x\)。
Chapter 3.
期望。expectation 也被叫做 mean 或者 first moment 一階矩。
期望的懶惰計算（The Rule of Lazy Statistician）：若 \(Y=r(X)\)，則 \(E(Y)=E(r(X))=\int r(x)\d F_X(x)=\int r(x)f_X(x)\d x\)。
\(K\) 階矩 Kth moment 為 \(E(X^K)\)。\(K\) 階矩存在如果該期望對應積分收斂。高階矩存在則低階矩必然存在。
期望線性性。如果變數獨立則積的期望等於期望的積。
\(V(aX+b)=a^2V(X)\)。獨立的 \(X\) 有和的方差等於方差的和。
對於一組隨機變數 \(X_1,\dots,X_n\)，定義樣本均值 sample mean \(\bar X_n=\dfrac1n\sum X_i\)，樣本方差 sample variance \(S_n^2=\dfrac1{n-1}\sum(X_i-\bar X_i)^2\)。
- 為什麼是 \(n-1\)？因為 \(\bar X_n\) 提供了一個自由度。
協方差 covariance \(\text{Cov}(X,Y)=E((X-\mu_X)(Y-\mu_Y))\)。相關係數 correlation \(\rho_{X,Y}=\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}\)。
\(-1\leq\rho\leq1\)。如果 \(Y=aX+b\)（前提是 \(a\neq0\)），那麼當 \(a>0\) 時 \(\rho=1\)，\(a<0\) 時 \(\rho=-1\)。獨立變數的協方差與相關係數均為零，但是反之不亦然。
隨機向量 \(\begin{bmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{bmatrix}\) 的平均值向量為 \(\mu=\begin{bmatrix}\mu_1\\\vdots\\\mu_n\end{bmatrix}\)。方差-協方差矩陣（variance-covariance matrix）\(\Sigma\) 被定義為 \(V(X)=\begin{bmatrix}V(X_1)&\text{Cov}(X_1,X_2)&\dots\\\text{Cov}(X_2,X_1)&V(X_2)&\dots\\\vdots&\vdots&\ddots\end{bmatrix}\)。
條件期望 \(E(X|Y=y)\) 是關於 \(y\) 的函式。
The Rule of Iterated Expectations：\(E(E(Y|X))=E(Y),E(E(X|Y))=E(X)\)。事實上，\(E(E(r(X,Y)|X))=E(E(r(X,Y)|Y))=E(r(X,Y))\)。
條件方差 \(V(X|Y=y)\) 亦是關於 \(y\) 的函式。\(V(X|Y=y)=\int(x-\mu(X|Y=y))^2f(x|y)\d x\)。
\(V(Y)=EV(Y|X)+VE(Y|X)\)。
矩量生成函式 Moment Generating Function, MGF，或稱為 Laplace 變換 Laplace Transform，滿足 \(\psi_X(t)=E(e^{tX})=\int e^{tx}\d F(x)=\int e^{tx}f(x)\d x\)。我們希望，MGF 在 \(0\) 的鄰域中有定義。這樣，便可得到 \(\psi'(0)=E(X)\)。事實上，\(\psi^{(k)}(0)=E(X^k)\)。
當變數彼此獨立時，MGF 的積等於 和 的 MGF。
若 \(Y=aX+b\)，則 \(\psi_Y(t)=e^{bt}\psi_X(at)\)。
如果 \(\psi_X(t)=\psi_Y(t)\) 在 \(0\) 的鄰域中相等，則 \(X,Y\) 有相同分佈。
特別地，PGF 的一些優秀性質（注意區別 PGF 與 PDF）（注意區分 PGF 與 MGF）：
- \(p(1)=1\)。
- \(p'(1)=E(X)\)。
- \(p''(1)+p'(1)-p'(1)^2=V(X)\)。
Chapter 4.
另一種 Hoeffding's Inequality 的表述：
對於獨立隨機變數 \(Y_1,\dots,Y_n\)，且每個變數的期望均為 \(0\)，且滿足 \(a_i\leq Y\leq b_i\)。令一個 \(\epsilon>0\)，則對於一切 \(t>0\)，都有 \(\Pr(\sum Y_i\geq\epsilon)\leq e^{-t\epsilon}\prod\exp(t^2(b_i-a_i)^2/8)\)。
Mill's Inequality：對於 \(Z\sim N(0,1)\)，則 \(\Pr(|Z|>t)\leq\sqrt{\dfrac2\pi}\dfrac{e^{-t^2/2}}t\)。
Cauchy-Schwarz Inequality：對於方差有限的變數 \(X,Y\)，\(E|XY|\leq\sqrt{E(X^2)E(Y^2)}\)。
Jensen's Inequality：對於凸的 \(g\)，\(E(g(X))\geq g(E(X))\)。