五大常用演算法之三：貪心演算法

一、基本概念：

所謂貪心演算法是指，在對問題求解時，總是做出在當前看來是最好的選擇。也就是說，不從整體最優上加以考慮，他所做出的僅是在某種意義上的區域性最優解。

貪心演算法沒有固定的演算法框架，演算法設計的關鍵是貪心策略的選擇。必須注意的是，貪心演算法不是對所有問題都能得到整體最優解，選擇的貪心策略必須具備無後效性，即某個狀態以後的過程不會影響以前的狀態，只與當前狀態有關。

所以對所採用的貪心策略一定要仔細分析其是否滿足無後效性。

二、貪心演算法的基本思路：

1.建立數學模型來描述問題。
2.把求解的問題分成若干個子問題。
3.對每一子問題求解，得到子問題的區域性最優解。
4.把子問題的解區域性最優解合成原來解問題的一個解。

三、貪心演算法適用的問題

貪心策略適用的前提是：區域性最優策略能導致產生全域性最優解。

實際上，貪心演算法適用的情況很少。一般，對一個問題分析是否適用於貪心演算法，可以先選擇該問題下的幾個實際資料進行分析，就可做出判斷。

四、貪心演算法的實現框架

從問題的某一初始解出發；

while （能朝給定總目標前進一步）
{
利用可行的決策，求出可行解的一個解元素；
}

由所有解元素組合成問題的一個可行解；

五、貪心策略的選擇

因為用貪心演算法只能通過解區域性最優解的策略來達到全域性最優解，因此，一定要注意判斷問題是否適合採用貪心演算法策略，找到的解是否一定是問題的最優解。

六、例題分析

下面是一個可以試用貪心演算法解的題目，貪心解的確不錯，可惜不是最優解。

[揹包問題]有一個揹包，揹包容量是M=150。有7個物品，物品可以分割成任意大小。
要求儘可能讓裝入揹包中的物品總價值最大，但不能超過總容量。

物品 A B C D E F G
重量 35 30 60 50 40 10 25
價值 10 40 30 50 35 40 30
分析：
目標函式： ∑pi最大
約束條件是裝入的物品總重量不超過揹包容量：∑wi<=M( M=150)
（1）根據貪心的策略，每次挑選價值最大的物品裝入揹包，得到的結果是否最優？
（2）每次挑選所佔重量最小的物品裝入是否能得到最優解？
（3）每次選取單位重量價值最大的物品，成為解本題的策略。

值得注意的是，貪心演算法並不是完全不可以使用，貪心策略一旦經過證明成立後，它就是一種高效的演算法。
貪心演算法還是很常見的演算法之一，這是由於它簡單易行，構造貪心策略不是很困難。
可惜的是，它需要證明後才能真正運用到題目的演算法中。

一般來說，貪心演算法的證明圍繞著：整個問題的最優解一定由在貪心策略中存在的子問題的最優解得來的。
對於例題中的3種貪心策略，都是無法成立（無法被證明）的，解釋如下：

（1）貪心策略：選取價值最大者。反例：
W=30
物品：A B C
重量：28 12 12
價值：30 20 20
根據策略，首先選取物品A，接下來就無法再選取了，可是，選取B、C則更好。
（2）貪心策略：選取重量最小。它的反例與第一種策略的反例差不多。
（3）貪心策略：選取單位重量價值最大的物品。反例：
W=30
物品：A B C
重量：28 20 10
價值：28 20 10

根據策略，三種物品單位重量價值一樣，程式無法依據現有策略作出判斷，如果選擇A，則答案錯誤。