（演算法）求1到1億間的質數或素數

weixin_34126215發表於2015-08-02
演算法

題目：

求1到1億間的質數或素數

思路：

什麼是質數？

質數（prime number）又稱素數，有無限個。一個大於1的自然數，除了1和它本身外，不能被其他自然數（質數）整除，換句話說就是該數除了1和它本身以外不再有其他的因數；否則稱為合數。（來自百度百科）

方法1：

遍歷1到1億間的所有數，然後逐個判斷是否為質數；

如何判斷一個數為質數？根據質數的定義，判斷該數是否能被1和它本身之外的數整除，如果是，則不是質數，否則為質數；一般只需判斷是否能被2到sqrt(num)的所有數整數。

方法2：

上述方法時間複雜度較高，對於1億個數而言，不太實際。

其實當我們遍歷到某個數（如：n）的時候，所有n的倍數的數字均不為質數，後續我們無需對這個數再做判斷的操作，這樣可以減少很多不必要的計算；

而且，我們可以從逆向思維來考慮，出了各個n的倍數的數字之外，其他的就是質數，於是少了判斷是否為質數的過程。

現在需要做的就是將這些提前判斷為非質數的數字儲存起來，可以通過一個bool陣列，如果某個數字為非質數，則在對應下標的陣列位置做標誌，以供後續判斷。

時間複雜度：O(n)，空間複雜度：O(n)

注意：

這裡處理的是一億個數字，因此需考慮機器的記憶體問題，32位機器的int表示範圍為0~2^32-1即4394967295，能表示一億，一億個int需要的記憶體為400M。

(下面的程式碼建立在記憶體足夠的情況下)

程式碼：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

const unsigned int MAX_NUM=100;

void Prime(vector<bool> &numbers,vector<int> &primes){
    for(unsigned int i=2;i<=MAX_NUM;i++){
        if(numbers[i]==false){
            primes.push_back(i);
            // multiple of i
            for(unsigned int j=i;j<=MAX_NUM;j+=i)
                numbers[j]=true;
        }
    }
}


int main()
{
    vector<bool> numbers(MAX_NUM,false);
    vector<int> primes;

    Prime(numbers,primes);

    vector<int>::iterator it=primes.begin();
    for(;it!=primes.end();it++){
        cout<<*it<<endl;
    }

    return 0;
}

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