試計算矩陣 $A=(\sin(\al_i+\al_j))_{n\times n}$ ($n\geq2$) 的行列式.
提示: 根據行列式的性質:
(1) 行列式兩列線性相關, 則行列式為零;
(2) 若記第 $k$ 列為向量 $\al$ 的行列式為 $D(\al)$, 則 $$\bex D(\al+\beta)=D(\al)+D(\beta), \eex$$ 我們有 $$\beex \bea |A|&=\sum_{k=1}^n \sev{\ba{ccccc} \cos \al_1\sin\al_1&\cdots&\sin \al_1\cos \al_k&\cdots&\cos\al_1\sin \al_n\\ \vdots&&\vdots&&\vdots\\ \cos \al_n\sin \al_1&\cdots&\cos \al_n\cos \al_k&\cdots&\cos \al_n\sin\al_n \ea}\\ &=0. \eea \eeex$$