[轉載]RSA演算法

RSA演算法

　　它是第一個既能用於資料加密也能用於數字簽名的演算法。它易於理解和操作，也很流行。演算法的名字以發明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理論上的證明。它經歷了各種攻擊，至今未被完全攻破。

一、RSA演算法 :

首先, 找出三個數, p, q, r, 
其中 p, q 是兩個相異的質數, r 是與 (p-1)(q-1) 互質的數...... 
p, q, r 這三個數便是 private key 
 
接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1)..... 
這個 m 一定存在, 因為 r 與 (p-1)(q-1) 互質, 用輾轉相除法就可以得到了..... 
再來, 計算 n = pq....... 
m, n 這兩個數便是 public key 
 
編碼過程是, 若資料為 a, 將其看成是一個大整數, 假設 a < n.... 
如果 a >= n 的話, 就將 a 表成 s 進位 (s <= n, 通常取 s = 2^t), 
則每一位數均小於 n, 然後分段編碼...... 
接下來, 計算 b == a^m mod n, (0 <= b < n), 
b 就是編碼後的資料...... 
 
解碼的過程是, 計算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq), 
於是乎, 解碼完畢...... 等會會證明 c 和 a 其實是相等的  :) 
 
如果第三者進行竊聽時, 他會得到幾個數: m, n(=pq), b...... 
他如果要解碼的話, 必須想辦法得到 r...... 
所以, 他必須先對 n 作質因數分解......... 
要防止他分解, 最有效的方法是找兩個非常的大質數 p, q, 
使第三者作因數分解時發生困難......... 
 
 
<定理> 
若 p, q 是相異質數, rm == 1 mod (p-1)(q-1), 
a 是任意一個正整數, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq, 
則 c == a mod pq 
 
證明的過程, 會用到費馬小定理, 敘述如下: 
m 是任一質數, n 是任一整數, 則 n^m == n mod m 
(換另一句話說, 如果 n 和 m 互質, 則 n^(m-1) == 1 mod m) 
運用一些基本的群論的知識, 就可以很容易地證出費馬小定理的........ 
 
<證明> 
因為 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整數 
因為在 modulo 中是 preserve 乘法的 
(x == y mod z  and  u == v mod z  =>  xu == yv mod z), 
所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq 
 
1. 如果 a 不是 p 的倍數, 也不是 q 的倍數時, 
   則 a^(p-1) == 1 mod p (費馬小定理)  =>  a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p 
      a^(q-1) == 1 mod q (費馬小定理)  =>  a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q 
   所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1  =>  pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1 
   即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq 
   =>  c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq 
 
2. 如果 a 是 p 的倍數, 但不是 q 的倍數時, 
   則 a^(q-1) == 1 mod q (費馬小定理) 
   =>  a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q 
   =>  c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q 
   =>  q | c - a 
   因 p | a 
   =>  c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p 
   =>  p | c - a 
   所以, pq | c - a  =>  c == a mod pq 
 
3. 如果 a 是 q 的倍數, 但不是 p 的倍數時, 證明同上 
 
4. 如果 a 同時是 p 和 q 的倍數時, 
   則 pq | a 
   =>  c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq 
   =>  pq | c - a 
   =>  c == a mod pq 
                                        Q.E.D. 
 
 
這個定理說明 a 經過編碼為 b 再經過解碼為 c 時, a == c mod n  (n = pq).... 
但我們在做編碼解碼時, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n, 
所以這就是說 a 等於 c, 所以這個過程確實能做到編碼解碼的功能..... 

二、RSA 的安全性

RSA的安全性依賴於大數分解，但是否等同於大數分解一直未能得到理論上的證明，因為沒有證明破解 RSA就一定需要作大數分解。假設存在一種無須分解大數的演算法，那它肯定可以修改成為大數分解演算法。目前， RSA 的一些變種演算法已被證明等價於大數分解。不管怎樣，分解n是最顯然的攻擊方法。現在，人們已能分解多個十進位制位的大素數。因此，模數n 必須選大一些，因具體適用情況而定。

三、RSA的速度

由於進行的都是大數計算，使得RSA最快的情況也比DES慢上倍，無論是軟體還是硬體實現。速度一直是RSA的缺陷。一般來說只用於少量資料加密。

四、RSA的選擇密文攻擊

RSA在選擇密文攻擊面前很脆弱。一般攻擊者是將某一資訊作一下偽裝( Blind)，讓擁有私鑰的實體簽署。然後，經過計算就可得到它所想要的資訊。實際上，攻擊利用的都是同一個弱點，即存在這樣一個事實：乘冪保留了輸入的乘法結構：

( XM )^d = X^d *M^d mod n

  前面已經提到，這個固有的問題來自於公鑰密碼系統的最有用的特徵--每個人都能使用公鑰。但從演算法上無法解決這一問題，主要措施有兩條：一條是採用好的公鑰協議，保證工作過程中實體不對其他實體任意產生的資訊解密，不對自己一無所知的資訊簽名；另一條是決不對陌生人送來的隨機文件簽名，簽名時首先使用One-Way HashFunction 對文件作HASH處理，或同時使用不同的簽名演算法。在中提到了幾種不同型別的攻擊方法。

五、RSA的公共模數攻擊

若系統中共有一個模數，只是不同的人擁有不同的e和d，系統將是危險的。最普遍的情況是同一資訊用不同的公鑰加密，這些公鑰共模而且互質，那末該資訊無需私鑰就可得到恢復。設P為資訊明文，兩個加密金鑰為e1和e2，公共模數是n，則：

C1 = P^e1 mod n

C2 = P^e2 mod n

密碼分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。

因為e1和e2互質，故用Euclidean演算法能找到r和s，滿足：

r * e1 + s * e2 = 1

假設r為負數，需再用Euclidean演算法計算C1^(-1)，則

( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n

  另外，還有其它幾種利用公共模數攻擊的方法。總之，如果知道給定模數的一對e和d，一是有利於攻擊者分解模數，一是有利於攻擊者計算出其它成對的e’和d’，而無需分解模數。解決辦法只有一個，那就是不要共享模數n。

   RSA的小指數攻擊。 有一種提高 RSA速度的建議是使公鑰e取較小的值，這樣會使加密變得易於實現，速度有
所提高。但這樣作是不安全的，對付辦法就是e和d都取較大的值。

   RSA演算法是第一個能同時用於加密和數字簽名的演算法，也易於理解和操作。RSA是被研究得最廣泛的公鑰演算法，從提出到現在已近二十年，經歷了各種攻擊的考驗，逐漸為人們接受，普遍認為是目前最優秀的公鑰方案之一。RSA的安全性依賴於大數的因子分解，但並沒有從理論上證明破譯RSA的難度與大數分解難度等價。即RSA的重大缺陷是無法從理論上把握它的保密效能如何，而且密碼學界多數人士傾向於因子分解不是NPC問題。 RSA的缺點主要有：A)產生金鑰很麻煩，受到素數產生技術的限制，因而難以做到一次一密。B)分組長度太大，為保證安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使運算代價很高，尤其是速度較慢，較對稱密碼演算法慢幾個數量級；且隨著大數分解技術的發展，這個長度還在增加，不利於資料格式的標準化。目前，SET( Secure Electronic Transaction )協議中要求CA採用位元長的金鑰，其他實體使用位元的金鑰。