（這個系列實在拖得太久，今天是最後一篇。）
上一篇介紹了"威爾遜區間"，它解決了投票人數過少、導致結果不可信的問題。
舉例來說，如果只有2個人投票，"威爾遜區間"的下限值會將贊成票的比例大幅拉低。這樣做固然保證了排名的可信性，但也帶來了另一個問題：排行榜前列總是那些票數最多的專案，新專案或者冷門的專案，很難有出頭機會，排名可能會長期靠後。
以IMDB為例，它是世界最大的電影資料庫，觀眾可以對每部電影投票，最低為1分，最高為10分。
系統根據投票結果，計算出每部電影的平均得分。然後，再根據平均得分，排出最受歡迎的前250名的電影。
這裡就有一個問題：熱門電影與冷門電影的平均得分，是否真的可比？舉例來說，一部好萊塢大片有10000個觀眾投票，一部小成本的文藝片只有100個觀眾投票。這兩者的投票結果，怎麼比較？如果使用"威爾遜區間"，後者的得分將被大幅拉低，這樣處理是否公平，能不能反映它們真正的質量？
一個合理的思路是，如果要比較兩部電影的好壞，至少應該請同樣多的觀眾觀看和評分。既然文藝片的觀眾人數偏少，那麼應該設法為它增加一些觀眾。
在排名頁面的底部，IMDB給出了它的計算方法。
- WR， 加權得分（weighted rating）。
- R，該電影的使用者投票的平均得分（Rating）。
- v，該電影的投票人數（votes）。
- m，排名前250名的電影的最低投票數（現在為3000）。
- C， 所有電影的平均得分（現在為6.9）。
仔細研究這個公式，你會發現，IMDB為每部電影增加了3000張選票，並且這些選票的評分都為6.9。這樣做的原因是，假設所有電影都至少有3000張選票，那麼就都具備了進入前250名的評選條件；然後假設這3000張選票的評分是所有電影的平均得分（即假設這部電影具有平均水準）；最後，用現有的觀眾投票進行修正，長期來看，v/(v+m)這部分的權重將越來越大，得分將慢慢接近真實情況。
這樣做拉近了不同電影之間投票人數的差異，使得投票人數較少的電影也有可能排名前列。
把這個公式寫成更一般的形式：
- C，投票人數擴充套件的規模，是一個自行設定的常數，與整個網站的總體使用者人數有關，可以等於每個專案的平均投票數。
- n，該專案的現有投票人數。
- x，該專案的每張選票的值。
- m，總體平均分，即整個網站所有選票的算術平均值。
這種演算法被稱為"貝葉斯平均"（Bayesian average）。因為某種程度上，它借鑑了"貝葉斯推斷"（Bayesian inference）的思想：既然不知道投票結果，那就先估計一個值，然後不斷用新的資訊修正，使得它越來越接近正確的值。
在這個公式中，m（總體平均分）是"先驗概率"，每一次新的投票都是一個調整因子，使總體平均分不斷向該專案的真實投票結果靠近。投票人數越多，該專案的"貝葉斯平均"就越接近算術平均，對排名的影響就越小。
因此，這種方法可以給一些投票人數較少的專案，以相對公平的排名。
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"貝葉斯平均"也有缺點，主要問題是它假設使用者的投票是正態分佈。比如，電影A有10個觀眾評分，5個為五星，5個為一星；電影B也有10個觀眾評分，都給了三星。這兩部電影的平均得分（無論是算術平均，還是貝葉斯平均）都是三星，但是電影A可能比電影B更值得看。
解決這個問題的思路是，假定每個使用者的投票都是獨立事件，每次投票只有n個選項可以選擇，那麼這就服從"多項分佈"（Multinomial distribution），就可以結合貝葉斯定理，估計該分佈的期望值。由於這涉及複雜的統計學知識，這裡就不深入了，感興趣的朋友可以繼續閱讀William Morgan的How to rank products based on user input。
（完）