迄今為止，這個系列都在討論，如何給出"某個時段"的排名，比如"過去24小時最熱門的文章"。
但是，很多場合需要的是"所有時段"的排名，比如"最受使用者好評的產品"。
這時，時間因素就不需要考慮了。這個系列的最後兩篇，就研究不考慮時間因素的情況下，如何給出排名。
一種常見的錯誤演算法是：
得分 = 贊成票 - 反對票
假定有兩個專案，專案A是60張贊成票，40張反對票，專案B是550張贊成票，450張反對票。請問，誰應該排在前面？按照上面的公式，B會排在前面，因為它的得分（550 - 450 = 100）高於A（60 - 40 = 20）。但是實際上，B的好評率只有55%（550 / 1000），而A為60%（60 / 100），所以正確的結果應該是A排在前面。
Urban Dictionary就是這種錯誤演算法的例項。
另一種常見的錯誤演算法是
得分 = 贊成票 / 總票數
如果"總票數"很大，這種演算法其實是對的。問題出在如果"總票數"很少，這時就會出錯。假定A有2張贊成票、0張反對票，B有100張贊成票、1張反對票。這種演算法會使得A排在B前面。這顯然錯誤。
Amazon就是這種錯誤演算法的例項。
那麼，正確的演算法是什麼呢？
我們先做如下設定：
（1）每個使用者的投票都是獨立事件。
（2）使用者只有兩個選擇，要麼投贊成票，要麼投反對票。
（3）如果投票總人數為n，其中贊成票為k，那麼贊成票的比例p就等於k/n。
如果你熟悉統計學，可能已經看出來了，這是一種統計分佈，叫做"二項分佈"（binomial distribution）。這很重要，下面馬上要用到。
我們的思路是，p越大，就代表這個專案的好評比例越高，越應該排在前面。但是，p的可信性，取決於有多少人投票，如果樣本太小，p就不可信。好在我們已經知道，p是"二項分佈"中某個事件的發生機率，因此我們可以計算出p的置信區間。所謂"置信區間"，就是說，以某個機率而言，p會落在的那個區間。比如，某個產品的好評率是80%，但是這個值不一定可信。根據統計學，我們只能說，有95%的把握可以斷定，好評率在75%到85%之間，即置信區間是[75%, 85%]。
這樣一來，排名演算法就比較清晰了：
第一步，計算每個專案的"好評率"（即贊成票的比例）。
第二步，計算每個"好評率"的置信區間（以95%的機率）。
第三步，根據置信區間的下限值，進行排名。這個值越大，排名就越高。
這樣做的原理是，置信區間的寬窄與樣本的數量有關。比如，A有8張贊成票，2張反對票；B有80張贊成票，20張反對票。這兩個專案的贊成票比例都是80%，但是B的置信區間（假定[75%, 85%]）會比A的置信區間（假定[70%, 90%]）窄得多，因此B的置信區間的下限值（75%）會比A（70%）大，所以B應該排在A前面。
置信區間的實質，就是進行可信度的修正，彌補樣本量過小的影響。如果樣本多，就說明比較可信，不需要很大的修正，所以置信區間會比較窄，下限值會比較大；如果樣本少，就說明不一定可信，必須進行較大的修正，所以置信區間會比較寬，下限值會比較小。
二項分佈的置信區間有多種計算公式，最常見的是"正態區間"（Normal approximation interval），教科書裡幾乎都是這種方法。但是，它只適用於樣本較多的情況（np > 5 且 n(1 − p) > 5），對於小樣本，它的準確性很差。
1927年，美國數學家 Edwin Bidwell Wilson提出了一個修正公式，被稱為"威爾遜區間"，很好地解決了小樣本的準確性問題。
在上面的公式中，表示樣本的"贊成票比例"，n表示樣本的大小，
表示對應某個置信水平的z統計量，這是一個常數，可以透過查表或統計軟體包得到。一般情況下，在95%的置信水平下，z統計量的值為1.96。
威爾遜置信區間的均值為
它的下限值為
可以看到，當n的值足夠大時，這個下限值會趨向。如果n非常小（投票人很少），這個下限值會大大小於
。實際上，起到了降低"贊成票比例"的作用，使得該專案的得分變小、排名下降。
Reddit的評論排名，目前就使用這個演算法。
[參考文獻]
* How Not To Sort By Average Rating
（完）