如果你問我，哪一種演算法最重要？
我可能會回答"公鑰加密演算法"。
因為它是計算機通訊安全的基石，保證了加密資料不會被破解。你可以想象一下，信用卡交易被破解的後果。
進入正題之前，我先簡單介紹一下，什麼是"公鑰加密演算法"。
一、一點歷史
1976年以前，所有的加密方法都是同一種模式：
（1）甲方選擇某一種加密規則，對資訊進行加密；
（2）乙方使用同一種規則，對資訊進行解密。
由於加密和解密使用同樣規則（簡稱"金鑰"），這被稱為"對稱加密演算法"（Symmetric-key algorithm）。
這種加密模式有一個最大弱點：甲方必須把加密規則告訴乙方，否則無法解密。儲存和傳遞金鑰，就成了最頭疼的問題。
1976年，兩位美國計算機學家Whitfield Diffie 和 Martin Hellman，提出了一種嶄新構思，可以在不直接傳遞金鑰的情況下，完成解密。這被稱為"Diffie-Hellman金鑰交換演算法"。這個演算法啟發了其他科學家。人們認識到，加密和解密可以使用不同的規則，只要這兩種規則之間存在某種對應關係即可，這樣就避免了直接傳遞金鑰。
這種新的加密模式被稱為"非對稱加密演算法"。
（1）乙方生成兩把金鑰（公鑰和私鑰）。公鑰是公開的，任何人都可以獲得，私鑰則是保密的。
（2）甲方獲取乙方的公鑰，然後用它對資訊加密。
（3）乙方得到加密後的資訊，用私鑰解密。
如果公鑰加密的資訊只有私鑰解得開，那麼只要私鑰不洩漏，通訊就是安全的。
1977年，三位數學家Rivest、Shamir 和 Adleman 設計了一種演算法，可以實現非對稱加密。這種演算法用他們三個人的名字命名，叫做RSA演算法。從那時直到現在，RSA演算法一直是最廣為使用的"非對稱加密演算法"。毫不誇張地說，只要有計算機網路的地方，就有RSA演算法。
這種演算法非常可靠，金鑰越長，它就越難破解。根據已經披露的文獻，目前被破解的最長RSA金鑰是768個二進位制位。也就是說，長度超過768位的金鑰，還無法破解（至少沒人公開宣佈）。因此可以認為，1024位的RSA金鑰基本安全，2048位的金鑰極其安全。
下面，我就進入正題，解釋RSA演算法的原理。文章共分成兩部分，今天是第一部分，介紹要用到的四個數學概念。你可以看到，RSA演算法並不難，只需要一點數論知識就可以理解。
二、互質關係
如果兩個正整數，除了1以外，沒有其他公因子，我們就稱這兩個數是互質關係（coprime）。比如，15和32沒有公因子，所以它們是互質關係。這說明，不是質數也可以構成互質關係。
關於互質關係，不難得到以下結論：
1. 任意兩個質數構成互質關係，比如13和61。
2. 一個數是質數，另一個數只要不是前者的倍數，兩者就構成互質關係，比如3和10。
3. 如果兩個數之中，較大的那個數是質數，則兩者構成互質關係，比如97和57。
4. 1和任意一個自然數是都是互質關係，比如1和99。
5. p是大於1的整數，則p和p-1構成互質關係，比如57和56。
6. p是大於1的奇數，則p和p-2構成互質關係，比如17和15。
三、尤拉函式
請思考以下問題：
任意給定正整數n，請問在小於等於n的正整數之中，有多少個與n構成互質關係？（比如，在1到8之中，有多少個數與8構成互質關係？）
計算這個值的方法就叫做尤拉函式，以φ(n)表示。在1到8之中，與8形成互質關係的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。
φ(n) 的計算方法並不複雜，但是為了得到最後那個公式，需要一步步討論。
第一種情況
如果n=1，則 φ(1) = 1 。因為1與任何數（包括自身）都構成互質關係。
第二種情況
如果n是質數，則 φ(n)=n-1 。因為質數與小於它的每一個數，都構成互質關係。比如5與1、2、3、4都構成互質關係。
第三種情況
如果n是質數的某一個次方，即 n = p^k (p為質數，k為大於等於1的整數)，則
比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。
這是因為只有當一個數不包含質數p，才可能與n互質。而包含質數p的數一共有p^(k-1)個，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它們去除，剩下的就是與n互質的數。
上面的式子還可以寫成下面的形式：
可以看出，上面的第二種情況是 k=1 時的特例。
第四種情況
如果n可以分解成兩個互質的整數之積，
n = p1 × p2
則
φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)
即積的尤拉函式等於各個因子的尤拉函式之積。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。
這一條的證明要用到"中國剩餘定理"，這裡就不展開了，只簡單說一下思路：如果a與p1互質(a<p1)，b與p2互質(b<p2)，c與p1p2互質(c<p1p2)，則c與數對 (a,b) 是一一對應關係。由於a的值有φ(p1)種可能，b的值有φ(p2)種可能，則數對 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)種可能，而c的值有φ(p1p2)種可能，所以φ(p1p2)就等於φ(p1)φ(p2)。
第五種情況
因為任意一個大於1的正整數，都可以寫成一系列質數的積。
根據第4條的結論，得到
再根據第3條的結論，得到
也就等於
這就是尤拉函式的通用計算公式。比如，1323的尤拉函式，計算過程如下：
四、尤拉定理
尤拉函式的用處，在於尤拉定理。"尤拉定理"指的是：
如果兩個正整數a和n互質，則n的尤拉函式 φ(n) 可以讓下面的等式成立：
也就是說，a的φ(n)次方被n除的餘數為1。或者說，a的φ(n)次方減去1，可以被n整除。比如，3和7互質，而7的尤拉函式φ(7)等於6，所以3的6次方（729）減去1，可以被7整除（728/7=104）。
尤拉定理的證明比較複雜，這裡就省略了。我們只要記住它的結論就行了。
尤拉定理可以大大簡化某些運算。比如，7和10互質，根據尤拉定理，
已知 φ(10) 等於4，所以馬上得到7的4倍數次方的個位數肯定是1。
因此，7的任意次方的個位數（例如7的222次方），心算就可以算出來。
尤拉定理有一個特殊情況。
假設正整數a與質數p互質，因為質數p的φ(p)等於p-1，則尤拉定理可以寫成
這就是著名的費馬小定理。它是尤拉定理的特例。
尤拉定理是RSA演算法的核心。理解了這個定理，就可以理解RSA。
五、模反元素
還剩下最後一個概念：
如果兩個正整數a和n互質，那麼一定可以找到整數b，使得 ab-1 被n整除，或者說ab被n除的餘數是1。
這時，b就叫做a的"模反元素"。
比如，3和11互質，那麼3的模反元素就是4，因為 (3 × 4)-1 可以被11整除。顯然，模反元素不止一個， 4加減11的整數倍都是3的模反元素 {...,-18,-7,4,15,26,...}，即如果b是a的模反元素，則 b+kn 都是a的模反元素。
尤拉定理可以用來證明模反元素必然存在。
可以看到，a的 φ(n)-1 次方，就是a的模反元素。
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好了，需要用到的數學工具，全部介紹完了。RSA演算法涉及的數學知識，就是上面這些，下一次我就來介紹公鑰和私鑰到底是怎麼生成的。
（完）