這篇文章是關於數學哲學中的結構主義的深入探討，它摘錄自2021年由麻省理工學院出版社出版的《數學哲學講座》一書。這本書是在牛津大學進行的數學哲學系列講座的基礎上編寫的，它從數學的角度出發，自然地從數學探究和實踐中發展出對數學哲學的介紹。
結構主義可能是當今數學家中最為廣泛持有的哲學立場。它的核心觀點是，數學物件作為個體是什麼並不重要，重要的是它們所處的結構，作為一個整體來考慮。在數學系統中，數字和其他數學物件在它們所屬的系統中扮演結構角色。結構主義的口號，正如Shapiro（1996，1997）所說，是“數學是結構的科學”。
關鍵要點：
結構主義的主要觀點是：
- 數字或其他數學物件作為個體是什麼並不重要，
- 重要的是它們作為一個整體所處的結構。
（banq注：對數字敏感並不意味數學學得好，因為數字本身不重要，數字所在上下文結構最重要）
數字在數字系統中扮演著各自的結構角色，而其他數學物件則在它們的系統中扮演著結構角色。
（banq注：1+2=3 這個數學公式中，數字1、2、3只是扮演角色符號，加號和等於號是結構符號，也就是說：結構符號對於結構整體更重要，如果你對數字敏感，過分關注數字，反而會忽視結構，數學邏輯反而不好。）
夏皮羅（1996，1997）認為，結構主義的口號是 "數學是結構的科學"。
以下來自國產大模型Kimi的總結:
文章詳細討論了結構主義的各個方面，包括數學物件的結構角色、定義性與結構角色的區別、結構的點對點定義、萊布尼茨結構的概念、剛性結構以及萊布尼茨屬性的重要性。此外，文章還探討了包括等式或身份標識關係在內的形式語言對萊布尼茨結構的影響，以及在沒有等式的情況下模型的元素等價性。
文章還討論了結構主義的不同形式，包括實踐中的結構主義、消除結構主義和抽象結構主義。實踐中的結構主義強調數學研究應該關注數學結構，並以結構主義的方式陳述和證明定理。消除結構主義認為數學結構僅僅是在特定結構中例項化的東西，而抽象結構主義則認為數學物件，包括數字、函式和集合，本質上是結構性的，它們作為純粹的結構抽象物件存在。
此外，文章還提到了數學家在遵循結構主義原則的同時，如何面對關於特定數學物件的單數引用問題。抽象結構主義提供了一種直接的解決方案，透過抽象過程解釋數學中的單數術語如何指向純粹的結構物件或抽象結構角色。
最後，文章指出結構主義在數學哲學中的重要性，特別是在理解數學物件的本質以及它們在數學理論中的作用方面。透過深入探討結構主義，我們可以更好地理解數學的本質和數學家在進行數學探究時所遵循的原則。
網友討論：
- 數學結構主義的發展是為了解釋數學物件的本體論，並且經常與柏拉圖主義形成對比，柏拉圖主義認為數字是像你或我這樣的真實事物。
- 範疇性是結構主義的核心，因為它表明我們熟悉的數學領域的本質。