題目

Problem 555: McCarthy 91 function

The McCarthy 91 function is defined as follows:

We can generalize this definition by abstracting away the constants into new variables:

This way, we have .
Let be the set of fixed points of . That is,

For example, the only fixed point of is . In other words, .
Now, define as the sum of the elements in and let .

For example, and .
Find .

分析

對 的幾個典型值進行簡單計算後，我們發現， 對於正整數 ， 當且僅當 時，
.
利用等差數列的求和公式，得到：
.
現在，我們令 ，再次利用等差數列的求和公式，得到：
.
最終，我們得到： .
注意，在這個和式中，a 不是自由變數，而是 p 和 b 的函式。而且這個和式也不是無限和，求和進行到 a = 0 為止。

解答

根據以上分析，我們有以下 Haskell 程式：

main = let p = 10^6; m = p in print $ (flip div 2) $ sum $
  takeWhile (>0) [(1+2*m-z)*z | b <- [1..], let z = b * (div p b - 1)]

簡要說明：

• div p b - 1 就是上面的分析中提到的 a
• z 就是 ab

這個程式的執行時間是 0.267 秒。

參考資料

1. Wikipedia: McCarthy 91 function
2. Wikipedia: Arithmetic progression