彭民德：《電子計算60年》 （2）數學的嚴密推理和美的薰陶

我喜歡數學，跟計算機結緣是從跟數學結緣開始的。小學接觸的雞兔同籠等問題，有了代數方程式，就不用再去湊，很快便可以得到確定的解。平面幾何的勾股定理，揭示直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方，任何直角三角形都無一例外。任意三角形的內心、垂心、重心必定相交於一點。半徑為R的圓，其周長必定是2πR，因而任何以有理數為半徑的圓其周長都是無理數，計算時只能得到某個近似值。由於數學上引進了無理數π，圓周長的公式表示比任何實際計算都要準確無誤。數學定理和公式簡潔明瞭，體現一種美。其證明之嚴密令人無容置疑，同樣體現數學之美。而0.618黃金分割則更能直接地揭示萬物美的數學本質，以至於貫穿到建築、藝術等一切審美場合。數學推理可以把表面上無關的東西串聯起來，鍛鍊嚴密思維的習慣。

到了數學系，進入了一個嶄新的學習領域。對比之下，原來中學學的是常量數學，現在要學變數數學了。客觀世界是變動的，變數數學才更能揭示客觀本質，常量只是變數的某個特徵點而已，是靜止的東西，中學裡學的只是入門和基礎。變數可能跟一個無限變動的過程相聯絡。現在老師帶領我們走進無限數學知識的海洋，去領略大千世界裡無限的數量關係和空間形式，那裡太神奇，太美了。

在數學分析中，首先引入無限和極限的概念。現實世界無限無處不在，但往往以有限的形式表現出來。數學上給出無窮大量和無窮小量的準確定義。可以求出許多變數無限過程的極限值。

接著定義有理數和無理數，在數軸上有無限多個有理數，也有無限多個無理數。任意兩個數之間都有無限多個無理數和無限多個有理數。有意思的是，全體有理數可以給出一個辦法把它們排序，雖然誰也無法真正做到這一點，但是特定的排序方法，可以讓每個有理數都處在序列中一個唯一確定的位置。可以證明根號2是無理數，也就是說永遠無法用有窮小數位準確表示。

許多無理數都可以表示為某個無窮級數之和，或者某個數列的極限。例如π和e都有許多種無窮級數或者數列的表示方法，某些表示方法還以某個有獨到研究的數學家命名。

我第一次接觸一個奇怪的函式，定義在整個實數軸上，有理點取函式值0，無理點取1。它嚴格地符合函式定義，但無論如何無法畫圖，甚至無法用任何初等方法表示這個函式。這個函式很好地說明了函式和圖形的概念不能混同。

有理數可以排序，是可數集合；無理數無法排序，屬於不可數集。它們的元素都有無窮多個。但不可數集合上的元素個數要比可數集合上的元素個數多得多。此前我們對於這類集合沒有了解。比如說，數軸上任何一條線段上都有不可數的無窮多個點。兩個不可數集合上元素個數的多少，似乎無法比較，只好用按照建立一一對應關係的辦法來比較。用這樣的方法，將看到不同區段，不等長線段上的點，都一樣多。因為只要把它們移動一下，作為一個同心圓的不同的圓周，所有的圓它們圓周上的點都處在大圓的同一條半徑上，是一一對應的。由此又有結論，數軸上所有的線段，它們的點數都與[0, 1]區間的點數一樣多。這個關係真是匪夷所思，難以理解，因為跟我們的直覺不一樣。怎麼能夠說，區間[0, 1]，與區間[0, 10]的點數一樣多呢，不是後者要多一些嗎？數學家們揭示出來真讓人大開眼界，又可以理解。數學是最講理的，每一步推導都有根據，只要認可數學上的點沒有大小厚薄，不同於物理上的點，上述比較方法是科學的，結論就不得不令人信服。

一根實數軸已經包含了讓你眼花繚亂的知識，複數平面上又有說不完的話，還不去說那極其抽象的這樣那樣許多的泛函空間。

數學不相信純感性的東西，所有結論都要嚴格地推導，我有過深切的體驗。《數學分析》課的期末考試以口試方式進行，學生逐個地考，要求極其嚴格。兩位主考老師，桌上一個題簽盒，應考者從盒子裡隨機地抽一個題，當場口試。我抽的題目是：一個於閉區間〔a, b〕上連續的函式f(x)，若f(a)<0， f(b)>0，那麼該區間內必定存在一個點x，其函式值f(x)＝0。我咋一看，覺得很容易，是很顯然的結論。就跟老師說，這不用證明吧。連續函式圖形從下半平面連續地變化到上半平面，肯定會與x軸相交，這個交點的函式值就是0。老師說，函式不等同於圖形，至於連續函式是否能等同於連續的圖形，是不是也要證明呢，那就會引出新的論題，因此應該據題設條件用數學分析的方法來證明。我想了想，無從下手，只得放棄。於是落個不及格，上大學後首次考試就不及格，一次難得的不及格體驗。

這次考試使我對於數學的嚴密性有了進一步瞭解。就這道題目而言，感性是對的，但數學不相信直覺，任何結論都必須經過推理證明。這道題目嚴格的證明應該是一種構造性的。取區間的中點x₁，其函式值有三種可能。如果f(x₁)等於0，結論就成立了。如果f(x₁)小於0，討論的範圍就從區間〔a, b〕縮小到〔x₁, b〕。如果f(x₁)大於0，討論的範圍就從區間〔a, b〕縮小到〔a , x₁〕。再對新區間取中點x₂，判斷其函式值。如果還沒有出現函式值為0的情況，便將區間的二分工作繼續進行下去，將會得到一個越來越小而且後者被前者包含著的區間系列，第i個區間以x_i為中點，左右端點的函式值異號。如果不能在第n步得到f(x_n)等於0，按照此前已經證明過的區間套定理，這個區間套將最終成為一個點x，其函式值f(x)與0要多近有多近，因而只能是0。什麼叫做與0要多近有多近？要做到邏輯上的嚴密，光用這種自然語言表達還不行，必須用嚴密的數學語言來表達。這種數學語言叫做“εδ”語言，即對於任何無論多麼小的ε，總存在一個δ，使得f(x-δ)<ε。有這種性質的x，才毫無疑問地有f(x)=0。

此後我注意到數學不能憑直覺，必須嚴格。每個定理、推論都必須一步一步證明。正是其嚴密，使其成了最美的科學，成就了其科學的皇后地位。

物理學上任何一個物理系統通常用數學上一組微分方程加以描述，物質運動定律甚至用某個簡單的數學公式就可以準確地表達。牛頓力學有f=ma，其中f是物體所受的力，m是其質量，a是加速度。有自由落體的S= gt²，其中，S是物體下降高度，t是降落時間， g是重力加速度。高速世界中愛因斯坦相對論的深奧道理體現在數學公式E=mc²當中，其中E是物體的能量，m是物體的質量，c是光速。微觀粒子由海森堡揭示的關於粒子不確定性原理是說，測量任意一個粒子動量的誤差△E與測量該粒子位置的誤差△T的乘積的極小值， 不會小於某個確定的量值。如果位置測準了，△T相對很小，體現運動速度的動量△E就會相對地大，就是說，如果位置測準了，速度就測不準，反之亦然。這種現象叫做測不準原理，還是用一個數學式子來表示：

min(△E×△T)= h/（2π）

其中h是普朗克常數，雖然很小，但它還是個常數。資訊領域中夏農有資訊量公式 ，其中P表示事件出現的概率，I表示該事件所包含的資訊量。滲透到各個領域的精美的數學公式不勝列舉。馬克思曾經斷言，一門科學只有在它成功運用數學時，才算達到了真正完善的地步。

感謝數學，給了我邏輯和美的薰陶。飽覽了數學的無限風光，跨入了科學殿堂的大門後，再往前走一步，設法把數學運用於工程，像架長江大橋那樣，為祖國建設服務，那就要進入計算數學領域了。

（與本文相關的更多內容，可參看 彭民德《電子計算60年》第1章 電子計算新開紀元　電子工業出版社）