著名律師萊布尼茨的手搖式計算機

二進位制，八卦

一般來說，計算機技術的課程都會從二進位制開始講起，因為電腦中的一切都是用0和1來表示的。我們今天要介紹的著名律師萊布尼茨，就是第一個提出二進位制的人。那是在300多年前，確切地說是在1679年3月15日，萊布尼茨題為“二進位算術”的論文，對二進位制進行了相當充分的討論，並與十進位制進行了充分的比較。他不僅完整地解決了二進位制的表示問題，而且給出了正確的二進位制加法與乘法規則。

顧名思義，二進位制就是逢二進位。就像在十進位制裡，1+9=10的計數規則一樣，在二進位制裡，1+1=10。同樣，在十進位制中，3個10相乘的結果是1後面跟3個0；同樣，3個2相乘在二進位制裡就相當於3個10相乘，同樣也是1後面跟3個0，即二進位制裡的1000就相當於十進位制裡的2*2*2。

十進位制數需要用到0~9十個符號，而表示二進位制數只需要0和1兩個符號，因此只要能表示0和1兩個狀態就可以完成二進位制數的計算。要用電錶示10個符號很難，兩個就簡單多了。

不過萊布尼茨之所以成為了一名被載入史冊的律師，並不是因為他律師幹得好，而是因為他喜歡在馬車上搞科學研究，研究的內容主要是數學和哲學。當他為了幫人打官司坐著馬車在不同的城鎮間穿梭時，最愛做的事兒就是研究數學公式。據說他的很多公式就是在下面這把摺椅上完成的：

當初不用的時候，這把椅子就掛在他的馬車車廂裡，現在則被放在了漢諾威的萊布尼茨紀念館裡供人瞻仰。不過他最著名的數學成果並不是二進位制，因為那時候的人完全搞不懂二進位制能有什麼用，連萊布尼茨自己都不知道。不過這沒關係，萊布尼茨有句名言：

我有那麼多的想法，如果那些比我更敏銳的人有一天深入其中，把他們絕妙的見解同我的努力結合起來，這些想法或許有些用處。

在論文發表16年後，1695年5月，魯道夫·奧古斯特大公在與萊布尼茨的一次談話中，對他的二進位制非常感興趣，認為“一切數都可以由0與1創造出來”這一點，為基督教《聖經》所講的創世紀提供了依據。1697年，他設計了一個象徵二進位制的紀念章圖案送給大公當作新年禮物。紀念章的正面是大公影像，背面是象徵創世紀的故事—水面上籠罩著一片黑暗，頂部是光芒四射的太陽，中間排列著二進位制和十進位制數字對照表，兩側是加法與乘法的例項。就像下面這個一樣：

不過當時並沒有人真的把這枚紀念章做出來，圖片中的實物是英國物理學家、數學家、軟體工程師和企業家史蒂芬·沃爾夫勒姆（Stephen Wolfram）送給他的好朋友格雷格·蔡廷（Greg Chaitin）的60歲生日禮物。文中的照片基本上也都是他參觀萊布尼茨紀念館時拍攝的。

除了向身邊的權貴推銷自己的二進位制思想，萊布尼茨還想通過在中國傳教的傳教士把這個想法推銷給康熙。

萊布尼茨從1697年開始給在中國傳教的閔明我寫信，詳細講述他的二進位制算術，列出了從0到31的二進位制數表，以及自然數的平方數列和立方數列的二進位制表示式等，希望閔明我能把二進位制算術介紹給康熙。1701年2月15日又給法國傳教士白晉寫信介紹他的二進位制，同樣是希望白晉能把二進位制算術介紹給康熙。

1701年2月26日，也就是在萊布尼茨給白晉寫信的十天之後，萊布尼茨以法國科學院外籍院士的身份，向法國科學院提交了關於二進位制算術的論文，並於4月25日作了宣講。但他要求不要立即發表這篇論文，因為他還要從數的理論方面對二進位制作進一步的研究，況且他還沒有看出二進位制有什麼實用價值。那一年他55歲，康熙大帝47歲。

白晉在收到萊布尼茨的信後，很快於11月4日寫了回信。在這封信中，白晉認為萊布尼茨的二進位制對基督教全世界聯合主義者的宗教事業很有好處，伏羲八卦系統的數與萊布尼茨的二進位制級數有共同的基礎。他提出，如果把二進位制算術從第五級（即00000或32）進到第六級（即000000或64），用中間斷開和不斷開的線（陰爻和陽爻）分別代表0和1，然後再把結果彎成一個圓形，那麼這個結果將和伏羲先天圖的圓形排列一致。他還把先天圖的方圖說成是妙不可言的圓中之方，傾向於認為方圖的排列也與二進位制一致。如果以上記述無誤的話，那麼應該說首先發現二進位制與易圖相通的是白晉，而萊布尼茨是這一發現的後續完成者。

白晉在1701年11月4日的信中附寄了一幅“伏羲先天卦序圖”。這封信遲至1703年4月1日才輾轉到達萊布尼茨的手中。他立即對此圖進行了研究，發現正如白晉所說，此圖的陰爻代表0，陽爻代表1，方圖和圓圖的排列順序是與二進位制級數相一致的。他在方圖和圓圖的每一卦上都一一註明了從0到63的阿拉伯數字。萊布尼茨為這一發現而興奮異常，因為這正是他所期待發現的二進位制的最重要的“實用價值”。這使他決定立即發表關於二進位制算術的論文，對原有的文稿作了修改和補充，題為《關於僅用0與1兩個記號的二進位制算術的說明並附有其效用及關於據此解釋古代中國伏羲圖的探討》，於1703年5月5日發表在法國科學院院報。在關於對二進位制算術的補充說明中，萊布尼茨所用的材料幾乎全部取自白晉的信。他也像白晉那樣認為，中國人已經有一千多年——白晉說有近三千年——不懂易卦的真正意義了。

雖然二進位制在300多年後的今天發揮了重大作用，但當時除了站在宗教的立場上解釋易經和7這個數字有多重要，並沒有什麼實際的用途。

第一天的伊始是 1，也就是上帝。第二天的伊始是 2，……到了第七天，一切都有了。所以，這最後的一天也是最完美的。因為，此時世間的一切都已經被創造出來了。因此它被寫作‘7’，也就是‘111’（二進位制中的111等於十進位制中的7），而且不包含0。只有當我們僅僅用 0 和 1 來表達這個數字時，才能理解，為什麼第七天才最完美，為什麼 7 是神聖的數字。特別值得注意的是它（第七天）的特徵（寫作二進位制的111）與三位一體的關聯。巧合的是，在中國古代傳說中，女蝸也是在初七那天把人造出來的。

微積分方程，牛頓

萊布尼茨在1684年發表第一篇微分論文，定義了微分概念，採用了微分符號dx，dy。1686年又發表了積分論文，討論了微分與積分，使用了積分符號∫。依據萊布尼茨的筆記本，1675年11月11日他便已完成一套完整的微分學。看看下面這份手稿，有沒有覺得很熟悉？

比他大四歲的牛頓，在1687年出版的《自然哲學的數學原理》的第一版和第二版也道：“十年前在我和最傑出的幾何學家萊布尼茨的通訊中，我表明自己已經知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我的信中沒有提及具體方法，……這位最卓越的科學家在回信中寫道，他也發現了一種同樣的方法。並講述了他的方法，除了措詞和符號外，與我的方法幾乎沒有什麼不同。”但英國的數學界不能接受一個德國佬也能搞出這麼高能的公式，所以經過認真的調查研究後，他們宣佈牛頓才是發明微積分的第一人，牛頓的那段話在第三版之後就再也看不到了。

不過萊布尼茨對牛頓的評價非常的高，在1701年柏林宮廷的一次宴會上，普魯士國王腓特烈詢問萊布尼茨對牛頓的看法，萊布尼茨說道：“在從世界開始到牛頓生活的時代的全部數學中，牛頓的工作超過了一半。”

學霸的思維體系

1646年7月1日，萊布尼茨出生於神聖羅馬帝國的萊比錫（現德國境內），父親是萊比錫大學的倫理學教授Friedrich Leibnütz，母親是來自於圖書貿易家族的Catherina Schmuck。萊布尼茨6歲那年，他父親去世，給他留下了一個私人圖書館。這個智商205（也有人說320）的天才少年，從8歲開始在他的私人圖書館中博覽群書，12歲開始學習拉丁文和希臘文。14歲時進入萊比錫大學唸書，20歲時完成學業，專攻法律和一般大學課程。

看來富二代、官二代都不是理想的出生選擇，如果有選擇投胎的權力，還是應該做學二代，詩書繼世長啊。

萊布尼茨在上學時就對知識的系統化和規範化很感興趣。他也認為可以建立起某種通用的體系，從一個“人類思想字母表”中取出符號進行多樣組合，就能表達所有知識。在哲學畢業論文中，萊布尼茨就曾試圖探討這一思想。他用到了一些基礎組合數學知識來計算概率。他還提到將思想分解為可以利用“創造的邏輯”進行處理的簡單成分。另外，他還加入了一段自稱為旨在證明上帝存在的論證。

正如萊布尼茨在晚年所說，這篇他在20歲時寫的論文從許多方面來看都很幼稚。但這種思想基本上奠定了萊布尼茨博學多能的基礎。比如萊布尼茨的法學畢業論文，命題是“疑難法律案件”，通篇都在論述這類案件被簡化為邏輯與組合數學問題從而得以解決的可能性。

在1672年的一次此類政治行動中，萊布尼茨被派往巴黎，之後在那裡度過了4年——在這一期間，他結識了很多當時的學界翹楚。在此之前，萊布尼茨的數學知識只處於基礎水平。但在巴黎，他有機會學習所有最先進的思想與方法。經過多年的努力，萊布尼茨完善了他將知識系統化、規範化的理論，並一直在構想著一種能使知識——按現在的說法——可計算化的整體結構。

他所設想的第一步是發展一門“符號學（ars characteristica）”——即用符號表示事物的方法論研究，並實際制定一套統一的“思維字母表”。在他接下來的設想中，通過這套單一指代體系，我們有可能“通過演算找到任何領域的推理真理，就像算術和代數那樣。”

他在提到自己的理念時用到了不少野心勃勃的說法，例如“知識方法總論”、“哲學語言”、“通用數學”、“通用系統”，還有“思維演演算法”。他料想這一系統最終會應用在所有領域：科學、法律、醫學、工程學、神學等等。 創業失敗的高科技手搖計算機

萊布尼茨在巴黎期間，見識到了帕斯卡於1642年建造的加法計算器。喜歡數學的萊布尼茨覺得這種機器能把人從體力勞動一樣枯燥乏味的計算中解放出來，一定很有市場。所以想對加法計算器加以改進，建造一臺能進行全部4種基礎運算的“全能”計算機。他還想給這機器設計一個簡單的“使用者介面”：使用者可以將操作柄扳向一方進行乘法，扳向反方向則是除法操作。

萊布尼茨最初建造了一臺木製原型機，計劃僅用來處理3到4位數的運算。還發明瞭以後所有機械計算機，包括IBM最初賣的計算機，都在沿用的萊布尼茨輪：

但受限於當時的機械製造水平，單是讓這臺計算機穩定地運轉就讓萊布尼茨絞盡腦汁。萊布尼茨在1673年造訪倫敦期間，將這臺原型機展示給羅伯特·胡克等人，可惜機器很不給面，狀況不斷。不過他始終認為自己能夠解決所有問題，雖然屢次失敗，但萊布尼茨仍依據其筆記起草了一份方案——並且簽約了一位工程師來建造一臺能夠處理更高位數的銅製版本：

萊布尼茨還為這臺機器寫了“廣告文案”：

還有“使用說明”（附帶365×24的計算過程作為“工作樣例”）：

但是，再牛B的天才也改變不了一個時代，儘管萊布尼茨在各個領域都做出了卓越的貢獻，儘管他付出了這麼多的努力，但計算機存在的問題始終沒能解決。雖然經過了40多年的努力，如果按現在的標準計算，萊布尼茨大概為之投入了超過100萬美元的資金，帶給他的回報卻少得可憐。

神奇的一生

萊布尼茨是名副其實的“萬能大師”。在化學方面，1677年他寫成了《磷發現史》；在物理學方面，除1671年的《物理學新假說》外，他的學術成果還有1684年關於材料力學的論文《固體受力的新分析證明》、1686年在力的量度方面的論文《關於笛卡兒和其他人在自然定律方面的顯著錯誤的簡短證明》；在地質學方面，他於1693年出版了《原始地球》一書等。

在生命的最後20多年間，萊布尼茨把興趣轉向了哲學，並以此作為主要精神寄託。他同他的弟子沃爾夫所創立的萊布尼茨－沃爾夫體系，極大地影響了德國哲學的發展。

萊布尼茨在哲學史上，與亞里士多德齊名。他提出的“單子論”，是唯心主義唯理論的主要代表之一，其中含有一些辯證法的因素，如認為單子是一與多的統一，單子是本身具有能動性的實體。他把真理分為必然真理和偶然真理，既承認必然性又承認偶然性。他的哲學著作《形而上學談話》、《人類理智新論》、《神正論》、《單子論》、《以理性為基礎的自然和神恩的原則》等，是歐洲哲學兩大派別——經驗主義與理性主義對峙中，理性主義的重要代表。費爾巴哈曾說：“近代哲學領域繼笛卡兒和斯賓諾莎之後，內容最為豐富的哲學乃是萊布尼茨。”萊布尼茨開創了德國的自然哲學，他影響了康德、黑格爾乃至20世紀的羅素。

同牛頓一樣，萊布尼茨終生未婚。同牛頓不同的是，萊布尼茨從未在大學執教。1716年11月14日，萊布尼茨因痛風和膽結石去世，享年70歲。因為他從不去教堂，教士以此為藉口不予理睬，宮庭也不過問，無人前往弔唁。

與牛頓死後厚葬於威斯敏斯特大教堂形成鮮明對照，萊布尼茨下葬於一個無名墓地，僅僅是他的私人祕書和帶著鐵鍬的工人前往。不過，他死後七八十年，人們於1793年在漢諾威為他建立了紀念碑；於1883年在萊比錫的一個教堂附近為他豎起了一座立式個人雕像；1983年，人們在漢諾威照原樣重修了被毀於第二次世界大戰的“萊布尼茨故居”供後人瞻仰。