羅素的 “大罪”——《數學原理》

作者：盧昌海
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本文發表於 2015 年 3 月 19 日的《南方週末》(發表時略去了註釋及英文標註)， 發表稿的標題為“羅素的 ‘大罪’”。本文的全本發表於 2015 年第 2 期的《數學文化》。

擅寫短詩的古希臘詩人卡利馬科斯 (Callimachus) 曾經言道：“一部大書便是一項大罪”¹。 1959 年， 英國哲學家羅素 (Bertrand Russell) 在《西方的智慧》(Wisdom of the West) 一書中引用了這句話， 並“謙虛”地表示，“以罪而論， 這是一部小書”(as evils go, this book is a minor one)； 1982 年， 印度裔美國科學史學家梅拉 (Jagdish Mehra) 在 《量子理論的歷史發展》 (The Historical Development of Quantum Theory) 一書中也引述了這句話， 且跟羅素一樣“謙虛”， 表示以罪而論， 他那部也是小書。

1 這句名言的另一種譯文是“大書，大惡”，希臘原文則為“μέγα βιβλίον μέγα κακόν”。

其實， 梅拉那部書是很大的， 6 卷 9 冊 5000 多頁， 恐怕是有史以來最大的科學史專著， 照卡利馬科斯的說法， 罪是小不了的。 倒是羅素的“謙虛”還稍有些道理， 因為《西方的智慧》並不是他最大的書， 他有一部大得多的書叫做《數學原理》(Principia Mathematica)， 3 卷近 2000 頁， 那才是“大罪”。 不過那恐怕不是書之罪， 而是書帶給作者的罪——那部大書著實讓作為主要作者的羅素受了“大罪”。

那“大罪”從寫作之初就開始了。

伯特蘭·羅素 (1872-1970)

羅素年輕時雄心勃勃， 二十出頭就立下巨集願， 要寫兩個系列的“大書”： 一個涵蓋所有的科學領域； 另一個涵蓋所有的社會學領域。 他並且暢想： 一個系列將從抽象出發， 逐漸嚮應用靠攏， 另一個系列則從應用出發， 逐漸向抽象靠攏， 最終交融成一個巨無霸系列。 羅素後來確實算得上著作等身， 但年輕時的這個巨集願實在是遠遠超出了任何個人的能力， 終其一生也未能實現， 而只在某些區域性領域中取得過區域性成果。 如果要在其中找出一個努力得最系統的， 那恐怕是數學。

1897 年， 25 歲的羅素撰寫了一本關於幾何的書： 《論幾何的基礎》(An Essay on the Foundations of Geometry)， 隨後又開始構思一本有關數學基礎的書： 《數學的原理》(The Principles of Mathematics)。 這本中譯名僅一字之差， 英文名也有些相近的書是《數學原理》的前身。 彷彿在預示《數學原理》將要讓羅素受“罪”， 《數學的原理》一起頭就不順利， 幾次努力都止於片斷。 這一局面直到 1900 年 8 月羅素在巴黎國際哲學大會 (International Congress of Philosophy) 上遇見義大利數學家皮亞諾 (Giuseppe Peano) 才有了被他稱為“智力生活轉折點”(a turning point in my intellectual life) 的改變²。

2 羅素在自傳中將國際哲學大會的時間記為了 1900 年 7 月。

皮亞諾是研究數學基礎的先驅人物之一， 在思維方式乃至所採用的數學符號等方面都對羅素有著巨大影響。 在這種影響下，《數學的原理》的寫作大為“提速”。 那年的最後三個月， 羅素幾乎以每天 10 頁的速度推進著， 年內就完成了數十萬字的文稿³。 在那段被他稱為“智力蜜月”(intellectual honeymoon) 的時期裡， 他不僅寫作神速， 而且每天都感覺到比前一天多領悟了一些東西。

3 這是粗略摺合成了中文字數，羅素自己的估計是約 20 萬個“詞”(word)。

但好景不長，“智力蜜月”隨著新世紀的到來很快就終結了： 1901 年春天， 羅素發現了著名的羅素悖論 (Russell's paradox)⁴。 這個以他名字命名的悖論如今已是羅素頭上的一道光環， 當時卻著實讓人消受不起， 對撰寫中的《數學的原理》， 乃至對整個數學基礎研究都造成了衝擊。 羅素在劍橋大學三一學院 (Trinity College) 時的老師、 著名哲學家懷特海 (Alfred North Whitehead) 在得知這一悖論後， 引了勃朗寧 (Robert Browning) 詩歌《迷途的領袖》(The Lost Leader) 中的一句“愉快自信的清晨永不再來”(Never glad confident morning again) 作為“贈言”寄給了羅素。

4 羅素悖論是關於集合 {x|x∉x} 的悖論， 由於這個集合是由所有不是自身元素 (即 x∉x) 的集合組成的集合， 它本身是否是自身元素就成了悖論。

羅素悖論使本已接近完成的《數學的原理》的出版推遲了兩年左右， 但即便如此也未能解決羅素悖論。 這一點讓羅素深感沮喪， 在給一位朋友的信中稱《數學的原理》為“一本愚蠢的書”(a foolish book)， 甚至表示一想到為這樣一本書花費了那麼多時間就感到羞愧。 不過那時候， 真正的“大書”《數學原理》的撰寫早已展開 (1900 年底左右就啟動了)， 徹底解決羅素悖論的任務被順理成章地轉移到了《數學原理》上。

《數學原理》的作者陣容比《數學的原理》擴大了一倍： 在羅素的動員下， 懷特海成為了合作者。 懷特海對數學基礎也有濃厚的興趣， 曾於 1898 年撰寫過一本標題為《泛代數》(A Treatise on Universal Algebra) 的著作， 且有續寫的想法。 羅素自己的最初打算則是將《數學原理》寫成《數學的原理》的第二卷。 不過， 這兩位想寫“續集”的作者“強強聯合”的結果， 是各自拋棄了“前集”， 寫出了一套篇幅和深度都遠超“前集”的獨立著作。

合作之初， 羅素和懷特海對工作進展有一個很樂觀的估計， 認為一年左右即可完成， 但羅素悖論的出現將這一估計掃進了垃圾箱， 《數學原理》的實際耗時約為十年， 比當初的預計高了一個數量級。 而比耗時增加更受罪的， 則是羅素悖論似乎在嘲弄著羅素的直覺和智力。 在很長一段時間裡， 羅素始終覺得羅素悖論是一個“平庸”(trivial) 的問題， 卻偏偏繞不過， 也突破不了。 這種不得不把精力花在自己認為不值得的地方， 且還像掉進了無底洞一樣看不到盡頭， 無疑是很受罪的感覺。

除了遭遇像羅素悖論那樣技術性的“攔路虎”外， 撰寫《數學原理》的十年間羅素在生活上也頗受了幾樁“罪”。

第一樁跟個人興趣有關， 起因於懷特海夫人伊夫林·懷特海 (Evelyn Whitehead)， 而且發生得很突然。 懷特海夫人年輕時經常被類似心絞痛的病痛所折磨， 1901 年上半年的某一天， 羅素親眼目睹了懷特海夫人遭受劇烈病痛折磨的情形。 那情形對羅素產生了極深的影響， 他從懷特海夫人孤立無助的痛苦中， 深切意識到了每個人的靈魂都處在難以忍受的孤獨之中。 這一意識——用他自己的話說——讓他感覺到“腳下的大地忽然抽走了”， 使他在短短五分鐘的時間裡“變成了一個完全不同的人”， 由撰寫《數學原理》所需要的一味追求精確和分析“渙散”為了對人生和社會哲學也有了濃厚興趣⁵。

5 有人——比如英國數學史學家格蘭坦·吉尼斯 (Ivor Grattan-Guinness) 在《尋找數學的基礎： 1870-1940》(The Search for Mathematical Roots, 1870-1940) 一書中——猜測羅素可能暗戀懷特海夫人。 這一猜測若屬實， 則羅素因目睹懷特海夫人的痛苦而“變成了一個完全不同的人”， 以及後文即將提到的他“頓悟”到自己已不愛結婚八年的妻子之事或許都會更容易理解些——但當然絕非必需。

第二樁跟家庭有關， 且同樣發生得很突然。 據羅素自己回憶， 1902 年春天的一個下午， 他在一條鄉間小路上騎車， 忽然“頓悟”到自己已不愛結婚八年的妻子了。 那是一個最符合字面意義的“頓悟”， 因為在那之前他甚至沒有覺察到對妻子的愛有任何減弱。 連減弱都沒有， 突然就消失了， 天才人物的“頓悟”出現在不該出現的地方時， 看來是很有些可怕的。 羅素的妻子愛麗絲·皮爾索爾·史密斯 (Alys Pearsall Smith) 比羅素大 5 歲， 羅素 17 歲時結識了她， 22 歲時將“姐弟戀”修成正果，“七年之癢”時因“頓悟”而陷入困境， 但在愛麗絲一度以自殺為威脅的抗爭下， 拖了約 20 年才最終離婚。

第三樁則跟合作者懷特海有關。 據羅素在自傳中披露 (那時懷特海夫婦皆已去世， 從而只能算一面之詞了)， 外人眼裡冷靜明智的懷特海其實常常陷入非理性的衝動， 比如一方面對缺錢深懷恐懼， 一方面又花錢無度； 有時候連續多日不吭一聲， 有時候又嘟嘟噥噥對自己橫加貶低， 使懷特海夫人飽受驚嚇， 甚至擔心他會崩潰或發瘋。 為了幫助懷特海一家及維持在《數學原理》上的合作， 自己有時也還要借錢度日的羅素小心翼翼地補貼著懷特海的家用， 且還必須瞞著懷特海， 以免傷他自尊心。

個人、 家庭、 合作者， 這幾乎涵蓋羅素整個世界的三大因素的共同煎熬， 加上論題本身的艱鉅， 以及羅素悖論的“攔路”， 使羅素撰寫《數學原理》的過程由艱苦變為痛苦。 這種痛苦在 1903 和 1904 年的夏天達到了高峰。 那段日子被他稱為“徹底的智力僵局”(complete intellectual deadlock)。 在那段日子裡， 他每天早晨拿出一張白紙， 除午飯外， 整天就對著白紙枯坐， 卻往往一個字也寫不出， 甚至焦慮地擔心自己一輩子都要對著白紙一事無成了。

那些年， 羅素常到牛津附近一座跨越鐵路的橋上去看火車， 在情緒悲觀時， 看著一列列火車駛過， 他有時會生出可怕的念頭： 也許明天干脆臥軌了結此生。 不過這時候， 使他悲觀厭世的《數學原理》卻又變成了讓他活下去的動力， 因為每當黎明來臨， 他又會重新燃起希望： 活下去，“也許某一天能完成《數學原理》”。

1906 年之後， 《數學原理》所遇到的技術瓶頸開始被突破， 寫作得以加速。 那時候， 懷特海因教書工作的羈絆無法花足夠的時間在《數學原理》上， 羅素開始以每天 10-12 小時， 每年 8 個月左右的時間投入寫作。 但煩惱並未就此遠離， 隨著手稿數量的增多， 他又陷入了近乎杞人憂天的擔憂之中， 害怕手稿會因房子失火而被毀。

整整十年， 痛苦、 焦慮、 悲觀、 擔憂終於都被熬過。 1910 年， 《數學原理》的初稿完成。 在給朋友的信中， 羅素很不吉利地把當時的心情形容為： 一個因照顧重病患而精疲力盡的人， 看到可惡的病患終於死去時的那種如釋重負的感覺。

由於篇幅浩繁， 羅素將手稿裝了兩個箱子， 僱了四輪馬車運到劍橋大學出版社 (Cambridge University Press)。 出版社對出版這部鉅著的“利潤”進行了評估， 得出一個很不鼓舞人心的結果： 負 600 英鎊。 當然， 劍橋大學出版社並非唯利是圖的地方， 他們願意為這樣的鉅著賠上一些錢， 問題是 600 英鎊在當時實在是一個不小的數目， 他們只能承擔一半左右——即約 300 英鎊。 剩下的 300 英鎊怎麼辦呢？ 在羅素與懷特海的申請下， 皇家學會慷慨解囊， 贊助了 200 英鎊。 但最後的 100 英鎊實在是沒辦法籌措了， 只能攤派到羅素和懷特海這兩位作者頭上， 每人 50 英鎊 (相當於 2006 年的 7000 多美元)。 對於這一結果， 羅素在自傳中感慨地寫道： 我們用 10 年的工作每人賺了負 50 英鎊。

大書出版了， 大錢賠掉了⁶， 但羅素把大書的完成比喻為重病患的死去並不恰當， 書之於作者其實更像孩子之於父母， 書的出版好比孩子的降生， 未必是一個能讓父母如釋重負的時刻。 事實上， 羅素因這部大書而受“大罪”的歷史並未就此終結。

6 《數學原理》共分三卷， 初版時間分別為 1910 年、 1912 年和 1913 年。 該書原本還計劃包含一個有關幾何的第四卷， 由懷特海主筆， 但未能完成。 據信懷特海曾積累過數量可觀的草稿， 但在去世之後被依照其遺願銷燬了——同時被銷燬的還有《數學原理》寫作期間羅素給他的絕大多數信件。

羅素和懷特海的這部大書顧名思義， 是研究數學基礎的。 這類研究有幾個主要流派， 比如以德國數學家希爾伯特 (David Hilbert) 為代表的形式主義 (Formalism)、 以荷蘭數學家布勞威爾 (L. E. J. Brouwer) 為代表的直覺主義 (Intuitionism)， 等等。 羅素和懷特海這部《數學原理》也屬於一個著名流派， 叫做邏輯主義 (Logicism)， 主張數學可以約化為邏輯。 《數學原理》不是邏輯主義的奠基之作， 卻是它的高峰。 在《數學原理》中， 數學大廈的一部分被從邏輯出發直接構築了出來。 羅素和懷特海對此深感自豪， 在向皇家學會申請贊助的信裡， 特別強調了這部書的精確性 (exactness)、 推理的縝密性 (particularity of reasoning) 以及內容的完備性 (completeness)。

《數學原理》對“1”的定義

但是， 這一切並非沒有代價， 那代價就是推理的極度曲折和冗長。 比方說，“1”這個小學數學第一課的內容在《數學原理》中直到第 363 頁才被定義； 1+1 這個最簡單的小學算術題直到第 379 頁才有答案。 比這種曲折和冗長更糟糕的， 是《數學原理》雖然是邏輯主義的高峰， 卻在一定程度上背離了邏輯主義的初衷， 即藉助邏輯所具有的自明性 (self-evidence) 來構築數學。 在《數學原理》中， 羅素和懷特海引進了幾條不僅不自明， 甚至未必能算邏輯的公理， 比如無窮公理 (axiom of infinity)、 選擇公理 (axiom of choice)， 以及可化歸性公理 (axiom of reducibility)。 這其中無窮公理和選擇公理在集合論中也採用， 倒還罷了， 可化歸性公理則完全是另類。 《數學原理》的這一特點——尤其是可化歸性公理——遭到了猛烈批評， 批評者包括第一流的數學家、 邏輯學家和哲學家， 幾乎是數學基礎研究的一個明星陣容。

比如著名德國數學家外爾 (Hermann Weyl) 就質疑道， 有任何具備現實頭腦的人敢說自己相信這樣一個不自然的體系嗎？ 羅素的學生， 著名哲學家維特根斯坦 (Ludwig Wittgenstein) 也毫不客氣地“叛變”了， 表示數學的真正基礎是像“1”那樣來自算術實踐的東西， 而不是用幾百頁篇幅才能推出“1”來的《數學原理》， 理由很簡單： 一旦《數學原理》與那些算術實踐相矛盾， 我們立刻就知道是《數學原理》而不是算術實踐錯了。 確實， 像“1”和“1+1=2”那樣的“小學數學”果真需要像可化歸性公理那樣的公理及幾百頁的邏輯推理為“基礎”嗎？ 這對邏輯主義堪稱是致命問題⁷。

7 值得一提的是， 這些反對意見羅素和懷特海自己也多少預見到了 (畢竟， 花幾百頁的篇幅才推出“1”來的人是很難不預見到這些反對意見的)。 在《數學原理》第一卷的序言裡， 他們寫道：“在數學上， 最大程度的自明性 (self-evidence) 通常並不在開頭， 而是出現在後面某個地方； 因此抵達那個地方之前的早期推理與其說是因結論可以從前提中推出而提供了相信結論的理由， 不如說是因正確的結論能從中推出而提供了相信前提的理由。”對於公理的不夠顯而易見， 這可以算是一種辯白， 不過終究不是很有力， 因為自明性如果出現在後面——比如出現“1”的地方， 那麼也許確如維特根斯坦所說的， 應該那裡才是數學的真正基礎。

在這一問題前首先倒下的當然就是已成眾矢之的的可化歸性公理。 羅素自己後來也不得不承認，“沒有任何理由相信可化歸性公理是邏輯上必要的”，“把這一公理引進體系是一個缺陷”。 但另一方面， 羅素也不無感慨地意識到， 很多困難似乎只有用“並不漂亮的理論”才能解決， 而可化歸性公理就是這種“並不漂亮的理論”的一個例子， 放棄它會使得《數學原理》的很多部分——比如有關實數的部分——失去依託。 在 1927 年出版的《數學原理》第二版的序言裡， 羅素表示希望由一些自己迄今未能找到的別的公理來頂替可化歸性公理。

常言道： 曲高和寡。 推理的極度曲折和冗長使《數學原理》的讀者群體小得可憐， 這一點讓羅素和懷特海深感失望。 距離《數學原理》的出版將近半個世紀的 1959 年， 羅素在《我的哲學的發展》 (My Philosophical Development) 一書中表示讀過《數學原理》後面部分的據他所知只有六人。 這簡直跟傳說中的只有少數人懂得相對論有一拼了——而且關於相對論的傳說很可能是虛的， 讀過《數學原理》後半部分的人卻恐怕真的很少。 事實上， 羅素在《數學原理》發表多年之後， 還不止一次遇到有人試圖重複解決早已被《數學原理》解決掉的問題。

寫了一部大書卻讀者寥寥無幾， 這是不幸。 比這更不幸的， 是那寥寥無幾的讀者之中， 卻有一人捅出了婁子。 此人名叫哥德爾 (Kurt Gödel)， 1931 年， 他發表了一篇劃時代的論文， 題為“論《數學原理》及相關體系中的形式上不可判定命題”(On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems)⁸。 那篇論文給出了著名的哥德爾不完全性定理 (Gödel's incompleteness theorem)， 它表明像《數學原理》那樣的體系假如是自洽的， 就必然是不完備的——即存在一些無法證明的真命題。 除此之外， 那篇論文還表明像《數學原理》那樣的體系的自洽性本身也是不能在體系之內被證明的。 如果說可化歸性公理所面臨的還只是自明不自明， 漂亮不漂亮的問題， 那麼哥德爾不完全性定理對《數學原理》的衝擊可就有點顛覆性的了。 因為在早年， 幾乎所有研究數學基礎的人都預設數學體系應當是自洽和完備的， 比如我們前面提到過的， 羅素和懷特海在為出版《數學原理》而向皇家學會申請贊助的信裡， 就強調了《數學原理》的完備性⁹。

8 哥德爾去世後， 他的遺物中有一套標有日期 1928 年 7 月 21 日的《數學原理》——那一年哥德爾 22 歲。 不過有趣的是， 哥德爾並不在羅素所說的讀過《數學原理》後面部分的六人之列 (因羅素提到那六人三人為波蘭人， 三人為得克薩斯人， 而哥德爾是奧地利人， 到美國後也不曾在得克薩斯定居過)， 不知是羅素的遺漏、 有意忽略、 還是確實認為哥德爾沒讀過《數學原理》的後面部分。
9 羅素和懷特海所強調的完備性從字面上講， 是涵蓋範圍很廣闊這一意義上的完備性， 但在涵蓋範圍之內， 則如哥德爾之前幾乎所有研究數學基礎的其他人一樣， 預設了不存在無法證明的真命題這一意義上的完備性。 這後一種完備性恰恰因為前一種完備性， 即涵蓋範圍很廣闊， 而被哥德爾不完全性定理所顛覆。

羅素曾感慨很多困難似乎只有用“並不漂亮的理論”才能解決， 現在哥德爾告訴他， 甚至在那“並不漂亮的理論”裡， 困難依然存在。 這對羅素和他所執著的邏輯主義都是一個沉重打擊， 用羅素自己的話說，“我一直希望在數學中找尋的壯麗的確定性失落在了令人困惑的迷宮裡。”這也許是比 10 年的苦幹和負 50 英鎊的“賺頭”更讓羅素受罪的。

不知是否是受罪所致， 羅素在厚厚的自傳中只有兩處提到哥德爾， 且不無“差評”。 其中一處認為哥德爾相信天堂裡有一個永恆的“否”字， 真正的邏輯學家在死後可以遇到 (羅素自己似乎提前遇到了)。 羅素將之稱為哲學上的“德國偏見”(Germany bias)， 並表示了失望¹⁰。 另一處則是援引了自己給一位“女粉絲”的信¹¹。 那位“女粉絲”盛讚了《數學原理》， 羅素在信中感謝道：“哥德爾的追隨者幾乎使我相信為《數學原理》所花的 20 人年 (man-years) 已成浪費， 那書也最好被忘記， 發現您並不這麼看是一種安慰。”——說是安慰， 也不無酸楚吧。

10 在羅素對哥德爾的這一“差評”中， 著名物理學家愛因斯坦 (Albert Einstein) 和泡利 (Wolfgang Pauli) 也“躺槍”了——這兩人在普林斯頓高等研究院 (Institute for Advanced Study) 時常與哥德爾一起討論， 羅素也“列席”過。 羅素的“差評”是針對那些討論的。
11 那位“女粉絲”名叫希爾頓 (Alice Mary Hilton)，是一位女數學家，著有一本名為《邏輯、計算機及自動化》(Logic, Computing Machines, and Automation) 的書。

但更酸楚的是英國數學家哈代 (Godfrey Harold Hardy) 在名著《一個數學家的辯白》(A Mathematician's Apology) 中轉述的羅素的一個噩夢——那是從羅素本人那裡聽來的： 公元 2100 年， 劍橋大學圖書館的管理員拿著一個桶巡視在書架間， 他要把沒用的書扔進桶裡處理掉， 管理員的腳步在三本大書前面停了下來， 羅素認出了那正是自己的《數學原理》， 而且是最後倖存的一套。 管理員把那三本書從書架上抽了出來， 翻了翻， 似乎被數學符號所困惑， 然後他合上了書， 思索著是否該扔進桶裡……

哈代的轉述沒有結局， 也許到這裡羅素被驚醒了， 未能“看到”結局。 不過我對結局倒是毫不悲觀， 科學史從來也不是如政治史那樣“成王敗寇”的歷史， 《數學原理》雖未能實現將數學約化為邏輯的夢想， 作為一次可敬的嘗試無疑是該被銘記的。 事實上， 哪怕像哥德爾不完全性定理那樣對《數學原理》造成沉重打擊的研究， 它以《數學原理》作為表述框架本身也是《數學原理》對數學發展的一筆該被銘記的貢獻。 因此， 若讓我來為羅素的噩夢想象一個結局的話， 我願相信公元 2100 年的圖書管理員的決定會是明智的， 起碼會不亞於羅素那位 20 世紀的“女粉絲”——那位“女粉絲”說過：“只要文明還存在， 並且珍視偉大智者的工作， 它 [《數學原理》] 就不會被遺忘。”

參考文獻

1. C. Diamond (eds), Wittgenstein's Lectures on the Foundations of Mathematics (The Harvard Press, Ltd., 1976).
2. I. Grattan-Guinness, The Search for Mathematical Roots, 1870-1940 (Princeton University Press, 2000).
3. J. Gray, Plato's Ghost: The Modernist Transformation of Mathematics (Princeton University Press, 2008).
4. N. Griffin (eds), The Selected Letters of Bertrand Russell, Volume 1: The Private Years 1884-1914 (Houghton Mifflin Company, 1992).
5. N. Griffin (eds), The Selected Letters of Bertrand Russell, Volume 2: The Public Years 1914-1970 (Routledge, 2001).
6. G. H. Hardy, A Mathematician's Apology (Cambridge University Press, 1993).
7. E. Regis, Who Got Einstein's Office? (Perseus Books, 1997).
8. B. Russell, My Philosophical Development (Simon and Schuster, Inc., 1959).
9. B. Russell, The Philosophy of Logical Atomism (Open Court Publishing Company, 1985).
10. B. Russell, Introduction to Mathematical Philosophy (Dover Publications, Inc., 1993).
11. B. Russell, Autobiography (Routledge, 1998).
12. B. Russell, The Principles of Mathematics (Routledge, 2010).
13. B. Russell and A. N. Whitehead, Principia Mathematica, Volume 1 (Cambridge University Press, 1910).
14. J. van Heijenoort (eds), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 (toExcel Press, 1967).
15. H. Weyl, Philosophy of Mathematics and Natural Science (Princeton University Press, 1949).

2015 年 1 月 28 日完稿
2015 年 3 月 19 日發表
http://www.changhai.org/

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