程式演義第一四回 高斯課堂巴掌助興，阿蘭用心二解迴圈

第一四回 高斯課堂巴掌助興，阿蘭用心二解迴圈

上節宙斯為自己的決定高興之時，卻讓計劃的執行者傷透腦筋。傷腦筋的事在許多人的面前，卻是小菜一碟，對於某些搞數學的天才人物來說，正是這種原本的“體罰”，卻會帶來無盡的遐想。我們下面要說的故事和一位偉大的數學家相聯絡，他就是高斯。

圖2.14.1 高斯先生講述他的動手理論

2.14.1 P14高斯巴掌聲

高斯(Gauss)是德國數學家、天文學家和物理學家，被譽為歷史上偉大的數學家之一，和阿基米德、牛頓並列，同享盛名。高斯的成就遍及數學的各個領域，他十分注重數學的應用，並且在對天文學、大地測量學和磁學的研究中也偏重於用數學方法進行研究。
高斯1777年4月30日生於不倫瑞克的一個工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根。幼時家境貧困，但聰敏異常，受一貴族資助才進學校受教育。1795～1798年在格丁根大學學習，1798年轉入黑爾姆施泰特大學，第二年因證明代數基本定理獲博士學位。從1807年起擔任格丁根大學教授兼格丁根天文臺臺長直至逝世。
高斯十歲時，老師考了那道著名的“從一加到一百”，他也一下子樹立了在老師心中的地位。但頑皮是孩子們的天性，班上一幫頑皮的小夥計，老師一不在，大家就相互間玩起來了，玩得興起，大家相互間拍起了巴掌。等老師回來，還沒有停止，把老師氣火了，為了以示懲治，他給學生們出了一道題，誰做不出來，中午頭就不用回家吃飯了，題目如下：40個小同學，相聚在一堂，相互擊一掌，總計多少響？正沉浸在巴掌聲中的小朋友們一下子給難住了。小高斯動動腦，又第一個解了出來！我們的問題是：用電腦，我們如何求究竟多少響？而和上面問題對應的還有第二個問題：一班小同學，相聚在一常，相互擊一掌，總計780響，問多少小朋友，相聚在一堂？

2.14.2 高斯巴掌解析：
一問分析：
下面先看第一個問題，高斯課堂的巴掌聲，如何求出呢？我們不妨從1開始，列出一個表格：
人數 響數
1 0
2 1
3 1+2
4 1+2+3
…
40 1+2+3+…+39
這個規律是什麼呢？實質上和高斯求1-100的和差不多，是求1-39的和。這是一個非常規律化的問題，要不然高斯就求不出來了，用高斯求1-100的方法，值很簡單地就算出來了：（1+39）*39/2=780。用電腦如何求呢？
首先，我們需要重新發現一下上述規律。描述規律的過程中，最終要的是一種承接的關係，所以可以用多個變數，s1表示1個人的響聲，s2表示2個人的，…，s40則表示40人的響聲。最終的結構有了：
s1=0
s2=1
s3=s2+2
s4=s3+3
…
s40=s39+39
上面的程式碼中像隱藏了什麼東西，將下標去除後，會出現什麼結果。因為賦值語句具有的“形似神不似”特點，去掉下標後假設最終結果不會發生變化，那這個去除是很好的，是向正確的方向前進了一步。我們將數值代入演算一下，不難以現，其最終的結果是一樣的。
一個美妙的規律出現了：
s=0
s=1
s=s+2
s=s+3
…
s=s+39
細瞅一下，這個距離一個可用的美妙的迴圈還有差距，就在最後一點點上，最後是2,3,…,39，不能夠使它們表面上看上去一樣，如果能將這些東西做得相同，那就可以用迴圈了，所以還要變。又因為2，3，…，40的規律與計數器特點相吻合，所以，能不能將一個計數器
i=i+1
移入其中？二者的結合，就會出現我們想要的相似的形式。
1個人和2個人的情況可以先不管，從3個人有情況開始，這一個將計數器i=i+1融合其中，可以用三句來代表：

i=1
i=i+1
s=s+1
4個人的情況，有了前面的承接，只要兩句就可以了：
i=i+1
s=s+1
一直到40人的情況，都可以用上面的兩句來代表。

圖 三次變形

把前兩句移過來，上面的規律中，下面重複了37次，注意，i的初始值是1
i=i+1
s=s+1

圖迴圈

根據不同的語句特點，可以寫出與上面規律相同的程式來（如圖1示）：

圖1
將第二句也加入規律中，但要保持變形等價，可以再加上一個值為0的s，即s=1變成s=s+1，因為語句右邊的s為0，所以兩句實現的實際作用相同。這一句可以放入後面的迴圈中，迴圈就是從1到39了（如圖2示）：

圖2
原始碼也就有了：
s=0
for i=1 to 39
s=s+i
next i
print s

二問分析：
再看第二個問題：第二個問題和第一個問題不同，但其方法卻是一樣的，第一個是求1+2+…+39的和，而第二個是求1+2+…+？=780，求的就是這個最終的值，人數。
因為我們知曉規律是什麼，我們雖不能準確地判斷究竟是多少同學在班上，但範圍我們是能肯定的，因為高斯幫我們求過，1-100的和是5050，所以不是1人，也不是101人，但一定在1-101之間，下面，我們就選擇這個範圍，將符合條件的那個輸出出來，程式在上面程式的基礎上，在迴圈體內加上一個分支進行判斷，也就行了。
s = 0
For i = 1 To 100
s = s + i
If s = 780 Then
Print i + 1
End If
Next i
上面的程式有什麼缺點嗎，第二個示例的答案我們知曉，也應該是40人，所以會出現從41人到101人做的都是無用功，唯一的缺點是浪費挺大的。怎樣才能克服這種浪費呢？有沒有一種語句可以正好達到這個點，然後就停止工作呢？有！
我們可以先模仿規律，怎樣將規律模仿出來呢？自然我們可以從1個人的情況一直向下尋找，但向下找不能是無限制的，需要有一個截止的條件，這就是780響。所以它的處理過程也是個迴圈，迴圈執行多少次我們不知道，但只要數量滿足780響了，一切OK，我們就找到了那個和780響對應的數值了。
所以我們遇到一種和我們前面所用的完全不同的一種迴圈，迴圈的次數在程式設計時是不確定的。

圖3
程式碼如下：
s = 0
i = 0
While s < 780
s = s + i
i = i + 1
Wend
Print i ‘輸出

兩問對比：
兩種迴圈，都是為了方便我們解決問題的。關於迴圈，象我們從順序的狀態下向迴圈轉化時一樣，要注意其必需的三個條件：首先是，問題有超過三個以上的相似性，如果太少，迴圈的方便性就顯現不出來了。我們遇到的幾個問題，大都情況多於三個，本題中更是達到40個，這麼多的情況，自然首先想到要用迴圈。
其次是，迴圈的開始和結束要能夠控制，特別注意第二種情況，如果不能控制，將會出迴圈永遠執行的結果，造成的直接後果是當機！從這一點上說，兩種迴圈的形式是可以轉化的，如果把第一問轉成第二種迴圈形式，程式碼如下：
s = 0
i = 1
While i <= 39
s = s + i
i = i + 1
Wend
Print s
將兩段程式碼比較一下，上面的幾個特點會更明顯。
第三，是其傳達的“形似神不似”的效果，賦值語句的精彩正在此處，在潘多拉豆一節中我們有過介紹。正是賦值表面的相似，使得我們做迴圈時，更簡潔地找出那塊重複的東西，但它做實際工作卻一點都不含糊，還是那麼多！

2.14.3 阿蘭開講：
現實問題的分析過程，越分析到最後，可能越富有戲劇性，除了大問題是由小的基本問題組成的外，努力透過文字的描述去發現事物的真相，有時顯得尤其重要，怎麼辦呢？動手，寫下來，從最簡單的情況入手，畫出來，然後動腦找出其中蘊藏的東西。動手的時候記住目標，是外形的相似，所以要做出形如a=a+X類似的式子來，另外一個工具是記數器，通過記數器將外形不相似的部分，做成相似的東西。

迴圈是我們破解現實問題的在力工具。迴圈有三個特點：第一，超過三個以上的相似性，正因為相似，所以用一種對於人類來說簡潔的方法，將我們的簡單勞動解放出來；第二，迴圈次數是有限的，或者說應該努力分清其開始和結束的條件；第三，形似神不似的傳達者，賦值或賦值的形式！將些三特點把握了，迴圈的本質問題就搞清了。
此外，迴圈語句主要有兩大類：一種是迴圈次數確定，也就是中間的部分執行多少次，在程式設計的過程時我們就知曉了；另一種是迴圈次數不定的迴圈，或者也可以說迴圈多少次和我們的所求有直接的關係。只要針對實際問題應用好兩大類迴圈，再複雜的問題，就會迎刃而解了。

後面我們還將通過相應示例加以說明。欲知後事如何，且聽下節分解。

2.14.4 小測驗：過河
明明牽著一隻狗和兩隻小羊回家，路上遇到一條河，沒有橋，只有一個小船，並且船很小，他每次只能帶一隻狗或一隻小羊過河。你能幫他想想辦法，把狗和小羊都帶過河去，又不讓狗吃到小羊？