斯特林近似公式

黃志斌發表於2016-12-08

以下四個命題成立嗎?

  • 1024 > 24!
  • 1025 > 25!
  • 1027! > 1027!
  • 1028! > 1028!

根據《具體數學》式(9.91),我們有以下斯特林近似公式

因此:

  • 1024 > 24!,因為:log1024! ≈ 23.8
  • 1025 < 25!,因為:log1025! ≈ 25.2
  • 1027! < 1027!,因為:log10log101027! ≈ 28.0,log10log101027! ≈ 28.4
  • 1028! > 1028!,因為:log10log101028! ≈ 29.5,log10log101028! ≈ 29.4

也就是說,對於正整數 b 和大於 1 的實數 a,當 n 是充分大的整數時:

  • an < n!
  • an! > bn!

參考資料

  1. Wikipedia: Stirling's approximation

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