冪的一個公式（一）

對於正整數 n ≥ m：

例如，當 n ≥ 9 時：

當 n 非常大時，使用這個公式能夠減少計算量。

---

取定正整數 m，令數列 a_n = 2ⁿ mod 10^m，則 a_n+1 = 2a_n mod 10^m。即：

• 數列當前項的值決定了數列後一項的值
• 數列的每一項都是小於 10^m 的正整數

所以，這個數列必定是迴圈的，其最小正週期小於 10^m。

---

當 n ≥ 1 時，2ⁿ mod 10¹ 的值（共 4·5⁰ 個）：

• 2, 4, 8, 6

當 n ≥ 2 時，2ⁿ mod 10² 的值（共 4·5¹ 個）：

• 12, 32, 52, 72, 92
• 04, 24, 44, 64, 84
• 16, 36, 56, 76, 96
• 08, 28, 48, 68, 88

當 n ≥ 3 時，2ⁿ mod 10³ 的值（共 4·5² 個）：

• 032, 072, 112, ..., 992
• 024, 064, 104, ..., 984
• 016, 056, 096, ..., 976
• 008, 048, 088, ..., 968

當 n ≥ 4 時，2ⁿ mod 10⁴ 的值（共 4·5³ 個）：

• 0032, 0112, 0192, ..., 9952
• 0064, 0144, 0224, ..., 9984
• 0016, 0096, 0176, ..., 9936
• 0048, 0128, 0208, ..., 9968

---

對於正整數 n，以下公式成立的概率大於 99.999999%：

當 n < 10⁹ 或 n mod 10⁹ ≥ 9 時，這個公式成立。