斐波那契數列定義如下：

• F_n = F_n-1 + F_n-2,       F₁ = F₂ = 1

令 ，可以使用以下 Haskell 程式來計算 g(10⁵)：

import Math.NumberTheory.Powers ( powerMod )
m = 9; m1 = 10^m; m2 = 4*5^(m-1)
p2 n = powerMod 2 n m1
fibs = map fst $ iterate (\(a,b)->(b,a+b)) (1,1) :: [Integer]
main = print $ mod (sum $ map p2 $ take (10^5) fibs) m1

這個程式的執行時間是 6 分 59 秒。

如果把上述 Haskell 程式中的 p2 函式替換為：

p2 n = powerMod 2 (if n < m2 then n else mod (n-m) m2 + m) m1

這個程式的執行時間是 1.47 秒。

如果 p2 函式替換為：

p2 n = powerMod 2 (mod n m1) m1

這個程式的執行時間是 1.39 秒，它在 99.999999% 的情況下能夠給出正確答案。

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以下 3 個公式，前 2 個是正確的，第 3 個不正確。

• (a ± b) mod m = (a mod m ± b mod m) mod m
• ab mod m = (a mod m) (b mod m) mod m
• 2ⁿ mod m = 2 ^{n mod m} mod m

如果 m = 10⁹，第 3 個公式出錯的概率小於一億分之一。

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以下 C 語言程式的執行時間是 0.014 秒：

#include <stdio.h>

int powerMod(int a, int b, int m)
{
  long v = 1;
  for (; b; b >>= 1, a = (long)a * a % m) if (b & 1) v = v * a % m;
  return (int)v;
}

int main(void)
{
  int m = 9, m1 = (int)1e9, m2 = 1562500, n = (int)1e6, z = 0;
  for (int i = 0, f1 = 1, f2 = 1, f3; i < n; i++, f1 = f2, f2 = f3) {
    f3 = (f1 + f2) % m2;
    if (i > 5 && f1 < m) f1 += m2;
    z = (powerMod(2, f1, m1) + z) % m1;
  }
  printf("%d\n", z);
}

如果刪除 main 函式 for 迴圈中的 if 語句，這個程式也幾乎是正確的。

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• g(10¹) = 200938800
• g(10²) = 075829040
• g(10³) = 195598640
• g(10⁴) = 273294640
• g(10⁵) = 050254640
• g(10⁶) = 819854640
• g(10⁷) = 515854640
• g(10⁸) = 475854640
• g(10⁹) = 075854640

我們有以下猜想：

• 猜想1：當 n ≥ 1 時，g(10ⁿ) 是 10 的倍數。
• 猜想2：當 n ≥ 9 時，g(10ⁿ) = 75854640。

經計算，得到：g(10¹¹) = g(10¹⁰) = g(10⁹)。

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數列 F_n mod 4 是迴圈數列，其最小正週期是 6：

• 1, 1, 2, 3, 1, 0, ...

數列 g(n) mod 10 是迴圈數列，其最小正週期是 30：

• 2,4,8,6,8,4,6,8,2,0,2,8,0,2,6,4,6,2,4,6,0,8,0,6,8,0,4,2,4,0, ...

所以猜想1是正確的。

猜想2應該也可以用類似的方法證明。

參考資料

1. 圖靈社群：冪的一個公式（一）
2. Wikipedia: Fibonacci number