“特徵”一詞譯自德語的eigen, 意味著“自身的”，“有特徵的” — 這強調了特徵值對於定義特定的線性變換上是很重要的.

☺ 特徵值 / 特徵向量

我們來觀察在矩陣 A 的作用下空間發生的線性變換, 注意下圖中紅色向量和綠色向量的變化:

觀察要點:

• 空間發生了傾斜, 但(黑色虛線)直線還是直線, 依然保持平行(線性性質);

• 變換過程中發生了映象翻轉, 所以行列式為負值 -2;

• 基向量 i 變換到 (-2,-2) 處, 基向量 j 變換到 (2,3) 處;

• 紅綠兩個向量都隨之發生了旋轉;

是不是空間中所有的向量都會進行旋轉呢? 還是這個矩陣變換為例, 再來觀察下面這 3 個向量.

觀察要點:

• 紅綠 3 個向量的長度發生了伸縮變換, 但仍在原來的直線方向上, 並未發生旋轉;

• 兩條直線上的任何其他向量都只是被拉伸為原來的 2 倍和 -1 倍, 如紅色兩個向量都伸長為 2 倍;

• 除了這兩條直線外, 空間中的其他向量在變換過程中都有旋轉(見上圖);

這裡只有長度伸縮起了變化, 而方向仍在原直線上的向量就是矩陣 A 的特徵向量(Eigenvectors. 伸縮的倍數, 就是特徵值(Eigenvalues), 紅色向量 (1,2) 伸長了 2 倍, 特徵值為 2; 綠色向量 (2,1) 伸縮倍率為 -1, 相應特徵值為 -1.

一般而言, 對於 nxn 方陣 A , 當存在向量 v 不是零向量, 且滿足

等號左邊是矩陣向量的乘積, 而右邊是數乘向量.

☺ 特徵值的計算

如何求解出特徵值呢, 考慮將上面等式右邊項移項:

我們知道只有當 (A-λ I) 這個矩陣所代表的變換是壓縮扁平化操作的時候才會將向量 v 壓縮至原點處, 而壓縮扁平化的矩陣的行列式應該等於 0 , 這樣只需要求解出相應的特徵方程即可得到 λ 的結果.

一旦求出了矩陣的特徵值, 之後要做的就是帶入定義式子, 求出滿足定義的特徵向量了.

❥ 部分截圖出自 3Blue1Brown 的《線性代數 的本質》視訊;

❥ 視訊可以從 YouTube 或 B站搜尋3Blue1Brown 線上觀看, 或者在[遇見數學]公眾號號後臺, 分別輸入關鍵字[高等數學]和[線性代數]直接得到下載地址.

上面就是本次圖解線性代數所回顧的知識點. 好了, 現在讓我們在下一篇的中再見!

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