基於使用者投票的排名演算法：牛頓冷卻定律

來源：阮一峰

這個系列的前三篇，介紹了Hacker News，Reddit和Stack Overflow的排名演算法。

今天，討論一個更一般的數學模型。

這個系列的每篇文章，都是可以分開讀的。但是，為了保證所有人都在同一頁上，我再說一下，到目前為止，我們用不同方法，企圖解決的都是同一個問題：根據使用者的投票，決定最近一段時間內的”熱文排名”。

你可能會覺得，這是一個全新的課題，伴隨著網際網路而產生，需要全新的方法來解決。但是，實際上不是。我們可以把”熱文排名”想象成一個”自然冷卻”的過程：

（1）任一時刻，網站中所有的文章，都有一個”當前溫度”，溫度最高的文章就排在第一位。

（2）如果一個使用者對某篇文章投了贊成票，該文章的溫度就上升一度。

（3）隨著時間流逝，所有文章的溫度都逐漸”冷卻”。

這樣假設的意義，在於我們可以照搬物理學的冷卻定律，使用現成的公式，建立”溫度”與”時間”之間的函式關係，輕鬆構建一個“指數式衰減”（Exponential decay）的過程。

偉大的物理學家牛頓，早在17世紀就提出了溫度冷卻的數學公式，被後人稱作“牛頓冷卻定律”（Newton’s Law of Cooling）。我們就用這個定律構建排名演算法。

“牛頓冷卻定律”非常簡單，用一句話就可以概況：

物體的冷卻速度，與其當前溫度與室溫之間的溫差成正比。

寫成數學公式就是：

其中，

– T(t)是溫度（T）的時間（t）函式。微積分知識告訴我們，溫度變化（冷卻）的速率就是溫度函式的導數T'(t)。

– H代表室溫，T(t)-H就是當前溫度與室溫之間的溫差。由於當前溫度高於室溫，所以這是一個正值。

– 常數α（α>0）表示室溫與降溫速率之間的比例關係。前面的負號表示降溫。不同的物質有不同的α值。

這是一個微分方程，為了計算當前溫度，需要求出T(t)的函式表示式。

第一步，改寫方程，然後等式兩邊取積分。

第二步，求出這個積分的解（c為常數項）。

第三步，假定在時刻t₀，該物體的溫度是T(t₀)，簡寫為T₀。代入上面的方程，得到

第四步，將上一步的C代入第二步的方程。

假定室溫H為0度，即所有物體最終都會”冷寂”，方程就可以簡化為

上面這個方程，就是我們想要的最終結果：

本期溫度 = 上一期溫度 x exp(-(冷卻係數) x 間隔的小時數)

將這個公式用在”排名演算法”，就相當於（假定本期沒有增加淨贊成票）

本期得分 = 上一期得分 x exp(-(冷卻係數) x 間隔的小時數)

其中，”冷卻係數”是一個你自己決定的值。如果假定一篇新文章的初始分數是100分，24小時之後”冷卻”為1分，那麼可以計算得到”冷卻係數”約等於0.192。如果你想放慢”熱文排名”的更新率，”冷卻係數”就取一個較小的值，否則就取一個較大的值。

[參考文獻]

*　Rank Hotness With Newton’s Law of Cooling

（完）