允許重複的組合

黃志斌發表於2018-09-26

《計算機程式設計藝術·卷4A：組合演算法（一）》的習題 7.2.1.7-15：

首先，我們複習一下組合，見《計算機程式設計藝術·卷1：基本演算法（第3版）》的 1.2.6 節：

接下來，是允許重複的組合，見習題 1.2.6-60 及答案：

習題 7.2.1.7-15 的答案如下：

這個答案有一處錯誤，因為 56 + 35 + 20 + 10 + 4 + 1 = 126 ≠ 252 。

實際上，投擲 n 顆骰子，相當於從 m = 6 個物件中一次取出 n 個的允許重複的組合，所得結果共有 種。如果把它們分解為以數 j (1 ≤ j ≤ 6) 開頭的話，分別有 種。當 1 ≤ n ≤ 7 時的情況如下所示：

所以，正確的表示式應該是： 126 + 70 + 35 + 15 + 5 + 1 = 252 。

順便還得到一個恆等式：

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