拉姆塞理論：舒爾數（二）

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舒爾本人在他的 1916 年論文中提出一種遞推構造：

設 [1, m] 可以分拆成 k 個無和集之並：

[1, m] = F₁∪F₂∪…∪F_k

則 [1, 3m+1] 可以分拆成 k+1 個無和集之並：

[1, 3m+1] = G₁∪G₂∪…∪G_k∪G_k+1

其中，對於 1≤i≤k，G_i = F_i∪(F_i + 2m + 1)，

這裡 F_i + 2m + 1 表示集 F_i 中各數都加上 2m + 1 後所得的集。

而 G_k+1 = [m+1, 2m+1]。

不難驗證 G₁, G₂, …, G_k, G_k+1 都是無和集。

因此，從 [1, 4] 分拆成兩個無和集之並 [1, 4] = {1,4} ∪ {2,3} 出發，按上述方法可把 [1, 13] 分拆成 3 個無和集之並：

[1, 13] = {1,4,10,13} ∪ {2,3,11,12} ∪ {5,6,7,8,9}。

這就證明了 S(3) ≥ 13 。

使用計算機容易證明 S(3) = 13，且 [1, 13] 只有 3 種方式分拆成 3 個無和集之並，另外兩種如下：

[1, 13] = {1,4,10,13} ∪ {2,3,7,11,12} ∪ {5,6,8,9}

[1, 13] = {1,4,7,10,13} ∪ {2,3,11,12} ∪ {5,6,8,9}