拉姆塞理論是組合數學的一個分支，其主導思想是：完全的無序是不可能的。舒爾定理是拉姆塞理論的源頭之一。

• 對於正整數 a, b，定義 [a, b] = {a, a+1, ..., b} 。
• 如果集合 A 中的任何兩個元素（可以是相同的）之和都不在 A 中，就說 A 是無和集。
• 舒爾數 S(k) 定義為可以分拆為 k 個無和集之並的集合 [1, n] 的 n 的最大可能值。
• S(1) = 1, S(2) = 4, S(3) = 13, S(4) = 44, S(5) = 160, S(6) ≥ 536, S(7) ≥ 1680 。

S(1) = 1 是顯然的。

S(2) = 4：集合 [1, 4] 可以分拆為兩個無和集：A₁ = {1, 4} 和 A₂ = {2, 3}，並且只有這麼一種分拆方法。又因為 5 = 1 + 4 = 2 + 3，所以 S(2) = 4 。

S(3) = 13：請讀者試著不使用計算機證明：S(3) ≥ 13 。

S(4) ＝ 44 是在 1965 年藉助計算機求得的。

S(5) = 160 是在 2017 年藉助計算機求得的。

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參考資料

1. Wikipedia: Ramsey theory
2. Wikipedia: Issai Schur
3. Wolfram MathWorld: Schur Number
4. JACM: Backtrack Programming
5. arXiv: Schur Number Five

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