演算法題24 根據上排給出十個數，在其下排填出對應的十個數

給你10分鐘時間，根據上排給出十個數，在其下排填出對應的十個數   
要求下排每個數都是先前上排那十個數在下排出現的次數。   
上排的十個數如下：   
【0，1，2，3，4，5，6，7，8，9】

舉一個例子，   
數值: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9   
分配: 6,2,1,0,0,0,1,0,0,0   
0在下排出現了6次，1在下排出現了2次，   
2在下排出現了1次，3在下排出現了0次....   
以此類推..   

 

解題思路：關鍵是理解“要求下排每個數都是先前上排那十個數在下排出現的次數”。

做以下分析：設總共有n個數，上排a[0...n-1],下排b[0...n-1]，。

1）下排n個數的累加和為n，即b[0]+b[1]+...+b[n-1] = n

2）ai*bi的累加和也為n，即a[0]*b[0]+a[1]*b[1]+...+a[n-1]*b[n-1] = n

3）對於b中任意一個元素b[j], 都存在i，a[i] = b[j].

4）對於b中任意一個元素b[j],都有b[j] >= 0

5）如果a中存在負數。其在b中出現的次數一定為0. 如果a中數值大於n，則其出現次數也為0.

6）a中至少有兩個非0數值在b中出現的次數非0

 

a：由1）n > n*b[i],其中b[i]為最小值，則a b中一定均有數值0，否則無解。設a[0] = 0,b[0]為a[0]在b中出現次數。

b：由於b中一定存在0，則0的出現次數一定大於0，因此b[0]>0 且b[0] < n，b[1...n-1]中至少一個值為0. 非0元素出現的次數一共是n-b[0].

c：有2）和6）對任意a[i],a[i]*b[i] < n，即b[i] < n/a[i]，對所有a[i]>=n/2的元素中，在b中出現的次數必須最多隻有1個出現次數不為0，且為1.其餘出現次數均為0，即[1, n/2）範圍內最多隻有n/2-1個元素，故0出現的次數必不小於n/2, [n/2,n）範圍內的元素必有一個出現次數為1。因此a數列中也必須有1，否則無解。

d：有c得在數值範圍為（0，n/2)中（假設有x這樣的數）出現的次數和s為n - b[0]或n-b[0]-1。其中1出現的次數至少為1（由c得）。又如果1出現的次數為1，則1出現的次數已經為2，故1出現的次數必大於1.設為x，則x出現的次數至少為1，而x>1,如果x出現的次數大於1，那麼必須要有其他數出現的次數為x，這樣無法收斂。故x出現的次數只能為1，1出現的次數只能為2.

 另外：（感謝coolria提出）如果上排數列中無0，則下排數列全是0，是其唯一解。

結論：

1）如果上排數列中有0，此時如果上排數列中無0,1,2,n-4這四個數，則下排數列無解；否則下排數列中0出現的次數為n-4；1出現的次數為2；2出現的次數為1；n-4出現的次數為1；其餘為0。

2）如果上排數列中無0，則下排數列全0，是其唯一解。

轉自http://blog.csdn.net/wcyoot/article/details/6428305