數學建模競賽中應當掌握的十類演算法

1  十類常用演算法 

         1. 蒙特卡羅演算法。該演算法又稱隨機性模擬演算法，是通過計算機模擬來解決問題的演算法，同時可以通過模擬來檢驗自己模型的正確性，幾乎是比賽時必用的方法。 
         2. 資料擬合、引數估計、插值等資料處理演算法。比賽中通常會遇到大量的資料需要處理，而處理資料的關鍵就在於這些演算法，通常使用MATLAB 作為工具。 
         3. 線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類演算法。建模競賽大多數問題屬於最優化問題，很多時候這些問題可以用數學規劃演算法來描述，通常使用Lindo、Lingo 軟體求解。 
        4. 圖論演算法。這類演算法可以分為很多種，包括最短路、網路流、二分圖等演算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認真準備。 
        5. 動態規劃、回溯搜尋、分治演算法、分支定界等計算機演算法。這些演算法是演算法設計中比較常用的方法，競賽中很多場合會用到。 
         6. 最優化理論的三大非經典演算法：模擬退火演算法、神經網路演算法、遺傳演算法。這些問題是用來解決一些較困難的最優化問題的，對於有些問題非常有幫助，但是演算法的實現比較困難，需慎重使用。 
        7. 網格演算法和窮舉法。兩者都是暴力搜尋最優點的演算法，在很多競賽題中有應用，當重點討論模型本身而輕視演算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高階語言作為程式設計工具。 
        8. 一些連續資料離散化方法。很多問題都是實際來的，資料可以是連續的，而計算機只能處理離散的資料，因此將其離散化後進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的。 
        9. 數值分析演算法。如果在比賽中採用高階語言進行程式設計的話，那些數值分析中常用的演算法比如方程組求解、矩陣運算、函式積分等演算法就需要額外編寫庫函式進行呼叫。 
        10. 圖象處理演算法。賽題中有一類問題與圖形有關，即使問題與圖形無關，論文中也會需要圖片來說明問題，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用MATLAB 進行處理。

2．以下將結合歷年的競賽題，對這十類演算法進行詳細地說明 

   2.1  蒙特卡羅演算法 
         大多數建模賽題中都離不開計算機模擬，隨機性模擬是非常常見的演算法之一。
         舉個例子就是97 年的A 題，每個零件都有自己的標定值，也都有自己的容差等級，而求解最優的組合方案將要面對著的是一個極其複雜的公式和108 種容差選取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最優的方案呢？隨機性模擬搜尋最優方案就是其中的一種方法，在每個零件可行的區間中按照正 態分佈隨機的選取一個標定值和選取一個容差值作為一種方案，然後通過蒙特卡羅演算法模擬出大量的方案，從中選取一個最佳的。另一個例子就是去年的彩票第二問，要求設計一種更好的方案，首先方案的優劣取決於很多複雜的因素，同樣不可能刻畫出一個模型進行求解，只能靠隨機模擬模擬。 
   2.2   資料擬合、引數估計、插值等演算法 
         資料擬合在很多賽題中有應用，與圖形處理有關的問題很多與擬合有關係，一個例子就是98 年美國賽A 題，生物組織切片的三維插值處理，94 年A 題逢山開路，山體海拔高度的插值計算，還有吵的沸沸揚揚可能會考的“非典”問題也要用到資料擬合演算法，觀察資料的走向進行處理。此類問題在MATLAB中有很多現成的函式可以呼叫，熟悉MATLAB，這些方法都能遊刃有餘的用好。

2.3   規劃類問題演算法 
         競賽中很多問題都和數學規劃有關，可以說不少的模型都可以歸結為一組不等式作為約束條件、幾個函式表示式作為目標函式的問題，遇到這類問題，求解就是關鍵了，比如98年B 題，用很多不等式完全可以把問題刻畫清楚，因此列舉出規劃後用Lindo、Lingo 等軟體來進行解決比較方便，所以還需要熟悉這兩個軟體。
   2.4   圖論問題 
        98 年B 題、00 年B 題、95 年鎖具裝箱等問題體現了圖論問題的重要性，這類問題演算法有很多，包括：Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，二分匹配等問題。每一個演算法都應該實現一遍，否則到比賽時再寫就晚了。 
   2.5  計算機演算法設計中的問題 
         計算機演算法設計包括很多內容：動態規劃、回溯搜尋、分治演算法、分支定界。比如92 年B 題用分枝定界法，97 年B 題是典型的動態規劃問題，此外98 年B 題體現了分治演算法。這方面問題和ACM 程式設計競賽中的問題類似，推薦看一下《計算機演算法設計與分析》（電子工業出版社）等與計算機演算法有關的書。 
   2.6   最優化理論的三大非經典演算法 
         這十幾年來最優化理論有了飛速發展，模擬退火法、神經網路、遺傳演算法這三類演算法發展很快。近幾年的賽題越來越複雜，很多問題沒有什麼很好的模型可以借鑑，於是這三類演算法很多時候可以派上用場，比如：97 年A 題的模擬退火演算法，00 年B 題的神經網路分類演算法，象01 年B 題這種難題也可以使用神經網路，還有美國競賽89 年A 題也和BP 演算法有關係，當時是86 年剛提出BP 演算法，89 年就考了，說明賽題可能是當今前沿科技的抽象體現。03 年B 題伽馬刀問題也是目前研究的課題，目前演算法最佳的是遺傳演算法。 
   2.7  網格演算法和窮舉演算法 
         網格演算法和窮舉法一樣，只是網格法是連續問題的窮舉。比如要求在N  個變數情況下的最優化問題，那麼對這些變數可取的空間進行採點，比如在[a, b] 區間內取M + 1 個點，就是a , a + (b -a)/M , a +2*(b - a)/M , … , b 那麼這樣迴圈就需要進行(M + 1)N 次運算，所以計算量很大。
         比如97 年A 題、99 年B 題都可以用網格法搜尋，這種方法最好在運算速度較快的計算機中進行，還有要用高階語言來做，最好不要用MATLAB 做網格，否則會算很久的。
        窮舉法大家都熟悉，就不說了。
   2.8  一些連續資料離散化的方法 
         大部分物理問題的程式設計解決，都和這種方法有一定的聯絡。物理問題是反映我們生活在一個連續的世界中，計算機只能處理離散的量，所以需要對連續量進行離散處理。這種方法應用很廣，而且和上面的很多演算法有關。事實上，網格演算法、蒙特卡羅演算法、模擬退火都用了這個思想。 
   2.9  數值分析演算法 
        這類演算法是針對高階語言而專門設的，如果你用的是MATLAB、Mathematica，大可不必準備，因為象數值分析中有很多函式一般的數學軟體是具備的。 
   2.10   圖象處理演算法 
         01 年A 題中需要你會讀BMP  圖象、美國賽98 年A 題需要你知道三維插值計算，03 年B 題要求更高，不但需要程式設計計算還要進行處理，而數模論文中也有很多圖片需要展示，因此圖象處理就是關鍵。做好這類問題，重要的是把MATLAB 學好，特別是圖象處理的部分。