面試題9-斐波那契數列

題目要求

求斐波那契數列的第n項。

題目解析

思路一：

• 分析

斐波那契數列的第n項的計算過程是一個標準的遞迴 。

• 程式碼段

    public static int getValue(int n) throws Exception {
        
        if(n < 0) {
            throw new Exception("輸入引數小於0 ，不合法的輸入") ;
        }
        
        if(n <= 1) {
            return (n==1) ? 1: 0 ;
        }
        
        return getValue( n-1 ) + getValue( n-2 ) ;
        
    }

思路二：

• 分析

斐波那契數列的第n項的計算過程是一個標準的遞迴 ， 但是由於遞迴對記憶體的需求非常大，所以我們要進行以下優化。新建一個陣列對計算結果進行儲存，下次計算式，先在陣列中進行查詢，若不存在再進行計算。

• 程式碼段

public static int getValue1(int n) throws Exception {
        
        if(n < 0) {
            throw new Exception("輸入引數小於0 ，不合法的輸入") ;
        }
        
        if(n <= 1) {
            return (n==1) ? 1: 0 ;
        }
        
        if(result.get(n)!=null) {
            return result.get(n) ;
        }else {
            result.put(n, getValue( n-1 ) + getValue( n-2 )) ;
        }
        
        
        return result.get(n) ;
        
    }

測試程式碼

    public static void main(String[] args) {
        
        try {
            
            System.out.println("未優化");
            long curTime = System.nanoTime() ;
            System.out.println(getValue(5));
            System.out.println(System.nanoTime() - curTime);
            
            System.out.println("-----------------------------------");
            
            System.out.println("優化");
            curTime = System.nanoTime() ;
            System.out.println(getValue1(5));
            System.out.println(System.nanoTime() - curTime);
            
            System.out.println("-----------------------------------");
            System.out.println("未優化");
            curTime = System.nanoTime() ;
            System.out.println(getValue(30));
            System.out.println(System.nanoTime() - curTime);
            
            System.out.println("-----------------------------------");
            System.out.println("優化");
            curTime = System.nanoTime() ;
            System.out.println(getValue1(30));
            System.out.println(System.nanoTime() - curTime);
            
            System.out.println(getValue1(-1));
            
        } catch (Exception e) {
            e.printStackTrace();
        }
        
    }

執行結果

未優化
5
51786
優化
5
176816
未優化
832040
10688252
優化
832040
8065874
java.lang.Exception: 輸入引數小於0 ，不合法的輸入
at 斐波那契數列.Demo.getValue1(Demo.java:41)
at 斐波那契數列.Demo.main(Demo.java:91)

題目擴充套件：

青蛙跳臺階問題：

• 題目要求：
  一隻青蛙一次可以跳一個臺階，也可以跳兩個臺階，求該青蛙要跳上n跳臺階有多少種方法。
• 題目分析：
  首先我們考慮最簡單的情況，當只有一階臺階時，只有一種情況，有兩階臺階時，有兩種情況，第一次跳一階，第二次跳一階。或者一次跳兩階。然後我們來看當有n階臺階時，假設一共有f(n)種情況，那麼第一次跳有兩種選擇，跳一階，那麼剩下的臺階的情況數量則為f(n-1)種。如果第一次跳兩階，那麼剩下的階數的情況就是f(n-2)。這個時候我們就可以簡單的看出它就是一個斐波那契數列問題。

擺方塊兒問題

有一個28的大方框和一個21的小方框，同樣的我們可以吧第一次放的條件分類。如果把第一塊橫著放，那麼下面的那個也必須橫著放，也就是不確定的是剩下的26，如果第一塊豎著放，那麼我們不能確定的就是剩下的27。並且當只有21的方格時只有一種方法，只有22方格時，只有兩種方法。那我們可以將問題轉化為斐波那契數列，解決問題。

青蛙跳臺階問題再擴充套件

• 題目要求：
  一隻青蛙一次可以跳1-n個臺階。求該青蛙要跳上n跳臺階有多少種方法。
• 題目分析：
  已知：當如上題條件。那麼f(n) = f(1) + f(2) + ...... + f(n-1) + 1;
  且：

f(n) = f(1) + f(2) + ...... + f(n-1)  + 1 ;
f(n - 1 ) =  f(1) + f(2) + ...... + f(n-2)  + 1 ;
f(n) = 2 f(n-1) ;

那麼可以得出f(n) = 2^(n-1)

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