長度、面積、體積的相似比原理

Inside_Zhang發表於2016-07-25

一隻鐵皮水桶，它的容水量是 7 kg。現在，假設你要做一個一樣形狀的大桶，要求大桶的容水量是 14 kg，應該準備多少材料？

設小桶的半徑和高度分別是 a,b

a,b
，設大桶的的半徑和高度為 ka,kb
ka,kb
，則二者的體積之比為：

πa2bπ(ka)2kb=1k3
\frac{\pi a^2b}{\pi (ka)^2kb}=\frac1{k^3}

又由條件可知，二者的體積之比為：1/2 ⇒ k=21/3

k=2^{1/3}

二者的表面積之比（所需材料）：

2πab+πa22πkakb+π(ka)2=1k2=122/3=141/3
\frac{2\pi ab+\pi a^2}{2\pi kakb+\pi (ka)^2}=\frac1{k^2}=\frac{1}{2^{2/3}}=\frac{1}{4^{1/3}}

也即大桶所需的鐵皮用料是小桶的 41/3

4^{1/3}
倍。

長度、面積和體積的這種關係，就叫相似比原理；

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