KMP演算法的Next陣列詳解

KMP的next陣列求法是很不容易搞清楚的一部分，也是最重要的一部分。我這篇文章就以我自己的感悟來慢慢推導一下吧！保證你看完過後是知其然，也知其所以然。

如果你還不知道KMP是什麼，請先閱讀這篇文章，先搞懂KMP是要幹什麼。

下面我們就來說說KMP的next陣列求法。

KMP的next陣列簡單來說，假設有兩個字串，一個是待匹配的字串strText,一個是要查詢的關鍵字strKey。現在我們要在strText中去查詢是否包含strKey，用i來表示strText遍歷到了哪個字元，用j來表示strKey匹配到了哪個字元。

如果是暴力的查詢方法，當strText[i]和strKey[j]匹配失敗的時候，i和j都要回退，然後從i-j的下一個字元開始重新匹配。

而KMP就是保證i永遠不回退，只回退j來使得匹配效率有所提升。它用的方法就是利用strKey在失配的j為之前的成功匹配的子串的特徵來尋找j應該回退的位置。而這個子串的特徵就是前字尾的相同程度。

所以next陣列其實就是查詢strKey中每一位前面的子串的前字尾有多少位匹配，從而決定j失配時應該回退到哪個位置。

我知道上面那段廢話很難懂，下面我們看一個彩圖：

這個圖畫的就是strKey這個要查詢的關鍵字字串。假設我們有一個空的next陣列，我們的工作就是要在這個next陣列中填值。

下面我們用數學歸納法來解決這個填值的問題。

這裡我們借鑑數學歸納法的三個步驟（或者說是動態規劃？）：

1、初始狀態
2、假設第j位以及第j位之前的我們都填完了
3、推論第j+1位該怎麼填

初始狀態我們稍後再說，我們這裡直接假設第j位以及第j位之前的我們都填完了。也就是說，從上圖來看，我們有如下已知條件：
next[j] == k;
next[k] == 綠色色塊所在的索引;
next[綠色色塊所在的索引] == 黃色色塊所在的索引;

這裡要做一個說明：圖上的色塊大小是一樣的（沒騙我？好吧，請忽略色塊大小，色塊只是代表陣列中的一位）。

我們來看下面一個圖，可以得到更多的資訊：

1.由”next[j] == k;”這個條件，我們可以得到A1子串 == A2子串（根據next陣列的定義，前字尾那個）。

2.由”next[k] == 綠色色塊所在的索引;”這個條件，我們可以得到B1子串 == B2子串。

3.由”next[綠色色塊所在的索引] == 黃色色塊所在的索引;”這個條件，我們可以得到C1子串 == C2子串。

4.由1和2(A1 == A2，B1 == B2)可以得到B1 == B2 == B3。

5.由2和3(B1 == B2， C1 == C2)可以得到C1 == C2 == C3。

6.B2 == B3可以得到C3 == C4 == C1 == C2

上面這個就是很簡單的幾何數學，仔細看看都能看懂的。我這裡用相同顏色的線段表示完全相同的子陣列，方便觀察。

接下來，我們開始用上面得到的條件來推導如果第j+1位失配時，我們應該填寫next[j+1]為多少？

next[j+1]即是找strKey從0到j這個子串的最大前字尾：

#：(#:在這裡是個標記，後面會用)我們已知A1 == A2，那麼A1和A2分別往後增加一個字元後是否還相等呢？我們得分情況討論：

(1)如果str[k] == str[j]，很明顯，我們的next[j+1]就直接等於k+1。

用程式碼來寫就是next[++j] = ++k;

(2)如果str[k] != str[j]，那麼我們只能從已知的，除了A1，A2之外，最長的B1，B3這個前字尾來做文章了。

那麼B1和B3分別往後增加一個字元後是否還相等呢？

由於next[k] == 綠色色塊所在的索引，我們先讓k = next[k]，把k挪到綠色色塊的位置，這樣我們就可以遞迴呼叫”#：”標記處的邏輯了。

由於j+1位之前的next陣列我們都是假設已經求出來了的，因此，上面這個遞迴總會結束，從而得到next[j+1]的值。

我們唯一欠缺的就是初始條件了：

next[0] = -1,  k = -1, j = 0

另外有個特殊情況是k為-1時，不能繼續遞迴了，此時next[j+1]應該等於0，即把j回退到首位。

即 next[j+1] = 0; 也可以寫成next[++j] = ++k;

public static int[] getNext(String ps)
{
    char[] strKey = ps.toCharArray();
    int[] next = new int[strKey.length];

    // 初始條件
    int j = 0;
    int k = -1;
    next[0] = -1;

    // 根據已知的前j位推測第j+1位
    while (j < strKey.length - 1)
    {
        if (k == -1 || strKey[j] == strKey[k])
        {
            next[++j] = ++k;
        }
        else
        {
            k = next[k];
        }
    }

     return next;
}

現在再看這段程式碼應該沒有任何問題了吧。

優化：

細心的朋友應該發現了，上面有這樣一句話：

(1)如果str[k] == str[j]，很明顯，我們的next[j+1]就直接等於k+1。用程式碼來寫就是next[++j] = ++k;

可是我們知道，第j+1位是失配了的，如果我們回退j後，發現新的j(也就是此時的++k那位)跟回退之前的j也相等的話，必然也是失配。所以還得繼續往前回退。

public static int[] getNext(String ps)
{
    char[] strKey = ps.toCharArray();
    int[] next = new int[strKey.length];

    // 初始條件
    int j = 0;
    int k = -1;
    next[0] = -1;

    // 根據已知的前j位推測第j+1位
    while (j < strKey.length - 1)
    {
        if (k == -1 || strKey[j] == strKey[k])
        {
            // 如果str[j + 1] == str[k + 1]，回退後仍然失配，所以要繼續回退
            if (str[j + 1] == str[k + 1])
            {
                k = next[k + 1];
                next[++j] = k;
            }
            else
            {
                k = k + 1;
                next[++j] = k;
            }
        }
        else
        {
            k = next[k];
        }
    }

     return next;
}

好了，自此KMP的next求法全部講解完畢。歡迎大家指出文章的錯誤，我好更加完善它。

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下面說說面試的時候，給一個字串，要你寫出它的Next陣列，應該怎麼寫：

①：先對每一位左邊的子串求出最大前字尾串的長度，作為初始的Next陣列

②：因為第一位失配時需要移動i，因此賦值為-1

③：P[3] == A, Next[3] == 0, P[0] == A;  所以P[3] == P[0], (移動過去後還是失配,需要繼續移動),優化Next[3]為Next[0],即-1

④：同理優化Next[10]為Next[0],即-1

⑤：同理優化P[14],P[15],P[16]