RSA演算法基礎->實踐

zhoujianhei發表於2008-11-07
演算法

RSA演算法基礎->實踐

作者：watercloud [at] xfocus.org xfocus (2005-04-29 12:52:55)

講講自己學習RSA中的實踐過程，已經對RSA熟悉的看家就不用在此浪費時間了。

<一>基礎

RSA演算法非常簡單，概述如下：
找兩素數p和q
取n=p*q
取t=(p-1)*(q-1)
取任何一個數e,要求滿足e<t並且e與t互素（就是最大公因數為1）
取d*e%t==1

這樣最終得到三個數： n  d  e

設訊息為數M (M <n)
設c=(M**d)%n就得到了加密後的訊息c 
設m=(c**e)%n則 m == M，從而完成對c的解密。
注：**表示次方,上面兩式中的d和e可以互換。

在對稱加密中：
n d兩個數構成公鑰，可以告訴別人；
n e兩個數構成私鑰，e自己保留，不讓任何人知道。
給別人傳送的資訊使用e加密，只要別人能用d解開就證明資訊是由你傳送的，構成了簽名機制。
別人給你傳送資訊時使用d加密，這樣只有擁有e的你能夠對其解密。

rsa的安全性在於對於一個大數n，沒有有效的方法能夠將其分解
從而在已知n d的情況下無法獲得e；同樣在已知n e的情況下無法
求得d。



<二>實踐

接下來我們來一個實踐，看看實際的操作：
找兩個素數：
p=47
q=59
這樣
n=p*q=2773
t=(p-1)*(q-1)=2668
取e=63，滿足e<t並且e和t互素
用perl簡單窮舉可以獲得滿主 e*d%t ==1的數d：
C:/Temp>perl -e "foreach $i (1..9999){ print($i),last if $i*63%2668==1 }"
847
即d＝847

最終我們獲得關鍵的
n=2773
d=847
e=63

取訊息M=244我們看看

加密：

c=M**d%n = 244**847%2773
用perl的大數計算來算一下：
C:/Temp>perl -Mbigint -e "print 244**847%2773"
465
即用d對M加密後獲得加密資訊c＝465

解密：

我們可以用e來對加密後的c進行解密，還原M：
m=c**e%n=465**63%2773 ：
C:/Temp>perl -Mbigint -e "print 465**63%2773"
244
即用e對c解密後獲得m=244 , 該值和原始資訊M相等。


<三>字串加密

把上面的過程整合一下我們就能實現一個對字串加密解密的示例了。
每次取字串中的一個字元的ascii值作為M進行計算，其輸出為加密後16進位制
的數的字串形式，按3位元組表示，如01F

程式碼如下：

#!/usr/bin/perl -w
#RSA 計算過程學習程式編寫的測試程式
#watercloud 2003-8-12
#
use strict;
use Math::BigInt;

my %RSA_CORE = (n=>2773,e=>63,d=>847); #p=47,q=59

my $N=new Math::BigInt($RSA_CORE{n});
my $E=new Math::BigInt($RSA_CORE{e});
my $D=new Math::BigInt($RSA_CORE{d});

print "N=$N  D=$D  E=$E/n";

sub RSA_ENCRYPT 
{
    my $r_mess = shift @_;
    my ($c,$i,$M,$C,$cmess);

    for($i=0;$i < length($$r_mess);$i++)
    {
        $c=ord(substr($$r_mess,$i,1));
        $M=Math::BigInt->new($c);
        $C=$M->copy(); $C->bmodpow($D,$N);
        $c=sprintf "%03X",$C;
        $cmess.=$c;
    }
    return /$cmess;
}

sub RSA_DECRYPT 
{
    my $r_mess = shift @_;
    my ($c,$i,$M,$C,$dmess);

    for($i=0;$i < length($$r_mess);$i+=3)
    {
        $c=substr($$r_mess,$i,3);
        $c=hex($c);
        $M=Math::BigInt->new($c);
        $C=$M->copy(); $C->bmodpow($E,$N);
        $c=chr($C);
        $dmess.=$c;
    }
    return /$dmess;
}

my $mess="RSA 娃哈哈哈～～～";
$mess=$ARGV[0] if @ARGV >= 1;
print "原始串：",$mess,"/n";

my $r_cmess = RSA_ENCRYPT(/$mess);
print "加密串：",$$r_cmess,"/n";

my $r_dmess = RSA_DECRYPT($r_cmess);
print "解密串：",$$r_dmess,"/n";

#EOF

測試一下：
C:/Temp>perl rsa-test.pl
N=2773  D=847  E=63
原始串：RSA 娃哈哈哈～～～
加密串：5CB6CD6BC58A7709470AA74A0AA74A0AA74A6C70A46C70A46C70A4
解密串：RSA 娃哈哈哈～～～


C:/Temp>perl rsa-test.pl 安全焦點（xfocus）
N=2773  D=847  E=63
原始串：安全焦點（xfocus）
加密串：3393EC12F0A466E0AA9510D025D7BA0712DC3379F47D51C325D67B
解密串：安全焦點（xfocus）



<四>提高

前面已經提到，rsa的安全來源於n足夠大，我們測試中使用的n是非常小的，根本不能保障安全性，
我們可以通過RSAKit、RSATool之類的工具獲得足夠大的N 及D E。
通過工具，我們獲得1024位的N及D E來測試一下：

n=0x328C74784DF31119C526D18098EBEBB943B0032B599CEE13CC2BCE7B5FCD15F90B66EC3A85F5005D
BDCDED9BDFCB3C4C265AF164AD55884D8278F791C7A6BFDAD55EDBC4F017F9CCF1538D4C2013433B383B
47D80EC74B51276CA05B5D6346B9EE5AD2D7BE7ABFB36E37108DD60438941D2ED173CCA50E114705D7E2
BC511951

d=0x10001

e=0xE760A3804ACDE1E8E3D7DC0197F9CEF6282EF552E8CEBBB7434B01CB19A9D87A3106DD28C523C2995
4C5D86B36E943080E4919CA8CE08718C3B0930867A98F635EB9EA9200B25906D91B80A47B77324E66AFF2
C4D70D8B1C69C50A9D8B4B7A3C9EE05FFF3A16AFC023731D80634763DA1DCABE9861A4789BD782A592D2B
1965


設原始資訊
M=0x11111111111122222222222233333333333

完成這麼大數字的計算依賴於大數運算庫，用perl來運算非常簡單：

A) 用d對M進行加密如下：
c=M**d%n :
C:/Temp>perl -Mbigint -e " $x=Math::BigInt->bmodpow(0x11111111111122222222222233
333333333, 0x10001, 0x328C74784DF31119C526D18098EBEBB943B0032B599CEE13CC2BCE7B5F
CD15F90B66EC3A85F5005DBDCDED9BDFCB3C4C265AF164AD55884D8278F791C7A6BFDAD55EDBC4F0
17F9CCF1538D4C2013433B383B47D80EC74B51276CA05B5D6346B9EE5AD2D7BE7ABFB36E37108DD6
0438941D2ED173CCA50E114705D7E2BC511951);print $x->as_hex"
0x17b287be418c69ecd7c39227ab681ac422fcc84bb35d8a632543b304de288a8d4434b73d2576bd
45692b007f3a2f7c5f5aa1d99ef3866af26a8e876712ed1d4cc4b293e26bc0a1dc67e247715caa6b
3028f9461a3b1533ec0cb476441465f10d8ad47452a12db0601c5e8beda686dd96d2acd59ea89b91
f1834580c3f6d90898

即用d對M加密後資訊為：
c=0x17b287be418c69ecd7c39227ab681ac422fcc84bb35d8a632543b304de288a8d4434b73d2576bd
45692b007f3a2f7c5f5aa1d99ef3866af26a8e876712ed1d4cc4b293e26bc0a1dc67e247715caa6b
3028f9461a3b1533ec0cb476441465f10d8ad47452a12db0601c5e8beda686dd96d2acd59ea89b91
f1834580c3f6d90898



B) 用e對c進行解密如下：

m=c**e%n ：
C:/Temp>perl -Mbigint -e " $x=Math::BigInt->bmodpow(0x17b287be418c69ecd7c39227ab
681ac422fcc84bb35d8a632543b304de288a8d4434b73d2576bd45692b007f3a2f7c5f5aa1d99ef3
866af26a8e876712ed1d4cc4b293e26bc0a1dc67e247715caa6b3028f9461a3b1533ec0cb4764414
65f10d8ad47452a12db0601c5e8beda686dd96d2acd59ea89b91f1834580c3f6d90898,  0xE760A
3804ACDE1E8E3D7DC0197F9CEF6282EF552E8CEBBB7434B01CB19A9D87A3106DD28C523C29954C5D
86B36E943080E4919CA8CE08718C3B0930867A98F635EB9EA9200B25906D91B80A47B77324E66AFF
2C4D70D8B1C69C50A9D8B4B7A3C9EE05FFF3A16AFC023731D80634763DA1DCABE9861A4789BD782A
592D2B1965,  0x328C74784DF31119C526D18098EBEBB943B0032B599CEE13CC2BCE7B5FCD15F90
B66EC3A85F5005DBDCDED9BDFCB3C4C265AF164AD55884D8278F791C7A6BFDAD55EDBC4F017F9CCF
1538D4C2013433B383B47D80EC74B51276CA05B5D6346B9EE5AD2D7BE7ABFB36E37108DD60438941
D2ED173CCA50E114705D7E2BC511951);print $x->as_hex"
0x11111111111122222222222233333333333
(我的P4 1.6G的機器上計算了約5秒鐘）

得到用e解密後的m=0x11111111111122222222222233333333333  == M


C) RSA通常的實現
RSA簡潔幽雅，但計算速度比較慢，通常加密中並不是直接使用RSA 來對所有的資訊進行加密，
最常見的情況是隨機產生一個對稱加密的金鑰，然後使用對稱加密演算法對資訊加密，之後用
RSA對剛才的加密金鑰進行加密。


最後需要說明的是，當前小於1024位的N已經被證明是不安全的
自己使用中不要使用小於1024位的RSA，最好使用2048位的。

                                               
原文連結：http://www.xfocus.net/articles/200503/778.html
 

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