精典演算法之詳解 河內之塔

weixin_33831673發表於2013-09-05
演算法

河內之塔(Towers of Hanoi)是法國人M.Claus(Lucas)於1883年從泰國帶至法國的，河內為越戰時北越的首都，即現在的胡志明市；1883年法國數學家Edouard Lucas曾提及這個故事，據說創世

紀時Benares有一座波羅教塔，是由三支鑽石棒（Pag）所支撐，開始時神在第一根棒上放置64個由上至下依由小至大排列的金盤（Disc），並命令僧侶將所有的金盤從第一根石棒移至第三根

石棒，且搬運過程中遵守大盤子在小盤子之下的原則，若每日僅搬一個盤子，則當盤子全數搬運完畢之時，此塔將毀損，而也就是世界末日來臨之時。

我們來把這個故事變成一個演算法：

 把三個柱子標為ABC 如果只有一個盤子時，將它直接搬到c，當有兩個盤子，就將B做為輔助。如果盤數超過2個，將第三個以下的盤子遮起來，就很簡單了，每次處理兩個盤子，也就是

A->B  A->C B->C這三個步驟，而被遮住的部分是一個遞迴處理。如果有n個盤子，則移動完畢所需的次數為2^n-1。

看一下圖，程式碼我會用c#和c++兩種語言給出演算法，然後我會把演算法詳細分解給大家

c++程式碼

void hanoi(int n,char A,char B,char C)
{
	if(n==1)
	{
		cout<<"Move "<<n<<" from "<<A<<"  to "<< C <<endl;
	}
	else
	{
		hanoi(n-1,A,C,B); //把A柱子上第N-1個盤子通過C放到B柱子上
		cout<<"Move "<< n<<" from "<< A <<" to "<< C <<endl;
		hanoi(n-1,B,A,C); //把B上所有盤子通過A放到C上
	}
}


int main()
{
	cout<<"請輸入盤子數量"<<endl;
	int n;
	cin>>n;
	hanoi(n,'A','B','C');
	return 0;
}

c#程式碼

 static void Main(string[] args)
        {
            Console.WriteLine("輸入盤子數量");
            int _n = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
            Hanoi(_n, 'A', 'B', 'C');
            
            Console.ReadLine();
        }

        static void Hanoi(int n, char A, char B, char C)
        {
            if (n == 1)
            {
                Console.WriteLine("Move {0} From {1} to {2}", n, A, C);
            }
            else
            {
                Hanoi(n - 1, A, C, B);
                Console.WriteLine("Move {0} From {1} to {2}", n, A, C);
                Hanoi(n - 1, B, A, C);
            }
        }

　　

我們用數量為3個盤子的時候來看一下這個Hanoi(int n, char A, char B, char C)方法

 

1.Hanoi(n - 1, A, C, B);這個遞迴是把n-1個盤子按從大到小的順序放到B柱子上,

   　　也就是n為3-1=2個盤子的時候,即Hanoi(2,A,C,B);

   　　　　這個時候的B是原來的C，C為原來的B

   　　　　n>1還要訪問Hanoi(n - 1, A, C, B);也就是Hanoi(1,A,C,B);會把A柱子最上邊的1盤子放到C柱子上去

　　　　　 n為2 時執行完 Hanoi(n - 1, A, C, B);

　　                              Console.WriteLine("Move {0} From {1} to {2}", n, A, C);這是把A柱子上的第2盤子放到B(因為這個時候的C為B)柱子上去

　　　　    Hanoi(n - 1, B, A, C);這相當於Hanoi(1,C,A,B) 把C柱子上的1盤子放到B上

2 Console.WriteLine("Move {0} From {1} to {2}", n, A, C);

　　把A柱子上的最後一個盤子3放到C柱子上

到這個時候 A柱子已經空了

               B柱子上最小的盤子1在2盤子上邊

　　　　   C柱子上有最大的盤子3

3 Hanoi(n - 1, B, A, C);上一個遞迴我們已經把n-1個盤子放到了B柱子上，這個方法就是把B柱子上的盤子放到C柱子上

     也就是Hanoi(2,B,A,C)它再遞迴

             先呼叫Hanoi(n - 1, A, C, B); 這個時候 的A是B  B為C,C為A  就是把B上的1盤子放到A柱子上

         Console.WriteLine("Move {0} From {1} to {2}", n, A, C); 把B柱子上的2盤子放到C柱子上

          Hanoi(n - 1, B, A, C);也就是Hanoi(1,A,B,C);會把A柱子上的C盤子入到C柱子上去

 

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