幾個把平面幾何問題的輔助線做到空間去的數學趣題

一、平面三圓問題1

      

    問題：平面上三圓兩兩相交於六點。試證明三條公共弦共點。
    證明：把這三個圓想像為三個球的大圓。為方便敘述，我們稱三個球的球心確定的平面為NK面。顯然，這個NK面在三個球上的截面就是題目的這三個大圓，而NK面上的三個大圓的三條公共弦即是每兩個球之間的公共小圓在NK面上的投影。我們要證明的就是三個公共小圓在NK面上的投影共點。注意到三個球交於兩點，這兩點關於NK面對稱且這兩點就是三個公共小圓的交點。把這兩點也投影到NK面上，得證。

二、平面三圓問題2

    問題：在平面三個圓中，任意兩個圓都有兩條公切線且兩條公切線交於一點。顯然，這樣的點有三個。試說明這三點共線。
    證明：在這個平面的三個圓上放三個球，每個球的半徑都等於它底下的那個圓的半徑。顯然，這個平面是這三個球的一個公切面。再把公切線想像成這三個球確定的三個圓錐的母線在平面上的投影。顯然三個圓錐的頂點都在這個平面上，且這三個頂點就是待證共線的三點。這三點是顯然共線的，因為我們可以在三個球上找到另一個公切面（想像一塊玻璃板從上面蓋下去），那麼這個切面上也包含了三個圓錐的頂點，而這兩個切面的交線是唯一的一條直線。

三、四人旅行問題
    問題：平面上四條直線，任兩條不平行，任三條不共點。四個旅行者A、B、C、D分別勻速地走在這四條直線上（他們的速度可以不相同）。若A在行走過程中與 B、C、D相遇，B在行走過程中與C、D相遇（當然也遇見了A），求證：C、D在行走過程中相遇。
    證明：作垂直於平面的直線作為時間軸，建立三維直角座標系。由於四人均勻速行走，因此他們的路程-時間影像是線形的。我們可以在空間中作出A、B、C、D四個人行走路程與時間關係的影像並分別命名為La、Lb、Lc、Ld。這樣，我們可以從這四條空間直線中輕易判斷某一時刻四人的位置。例如，空間中P點 (x,y,t)在直線Lc上，則表明在t時刻C走到了平面(x,y)位置。好，現在強了，真的強了。A、B不是曾經相遇過嗎？這就是說，La和Lb相交。這兩條相交直線可以確定一個平面。C不是與A、B都相遇過嗎？那就是說，Lc與La、Lb都相交。於是，Lc也在這個平面上。同樣地，Ld也在這個平面上。既然全部都共面了，Lc、Ld必然會相交，即C、D必相遇。得證。

四、三角形對稱問題
  

    問題：平面上任意三角形ABC和異於A、B、C三點的點P。X、Y、Z三點分別是P點關於三邊BC、AC、AB的中點的對稱點。求證：AX、BY、CZ共點。


    證明：考慮空間中一點P'使PP'垂直於平面ABC。作出X'、Y'、Z'關於三邊BC、AC、AB的中點對稱。可以得到，點A、B、C、P'、X'、 Y'、Z'是一個平行六面體的頂點。AX'、BY'、CZ'是三條體對角線，他們顯然共點。這個證到了有什麼用呢？把這幾個帶了一撇的點全部投影到平面 ABC上，結論就證到了。



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