和大家談談數學模型之美

我接觸數學模型是從一本書開始的。那時候，還是改革開放的初期，翻譯者們帶回國《數學模型》這本書，在科學的春天裡著手翻譯工作。當時計算機還是個奢侈品，我還是一個初中生，很榮幸地為他們抄寫翻譯手稿。

是這本書，讓我對數學模型產生了極大的興趣，並引領著我學習數學模型並喜愛數學。

1999年，我首次在我校開設數學模型相關課程，受到了同學們的熱烈歡迎。

這些年來，與10多屆的學生們在數學建模活動中建立了深厚的友誼。

現在，越來越多的學生喜歡數學模型，他們積極地參加全國大學生數學建模競賽等各種數學建模活動，並且取得了優異的成績。

獲得全國大學生數學建模競賽一等獎的呂金鵬、李一凡和李曉男同學在總結裡寫道：“數學建模讓我們看到了數學解決問題的魔力，體會了一種震撼心靈的美。”

二等獎獲得者宋延麗同學說：“用勇氣去改變可以改變的，用包容去接受不能改變的，用智慧去區分兩者的區別。別人的成果只能借鑑，按照自己的想法做出新的東西。做出我們自己的東西就是勝利。”

江文華同學說：“想象世界上一個有你，一個沒有你，讓兩者的不同最大，這就是建模教給我的”。

 魏渝沁同學說“建模是艱苦的鍛鍊，終生難忘！無論遇到什麼困難，我相信都能過去。真正全身心認真投入地做事，絕不放棄！數學建模讓我感到數學無處不在。”……

相信通過本課程的學習，我們一定會進一步瞭解數學模型的思想和方法，並瞭解數學模型為推動人類文明的發展和科技進步所起的巨大的作用。從而拉近我們和數學的距離，深刻體會數學模型的重要價值。

一、首先講講數學模型在數學這門浩瀚的學科中所扮演的角色

先談談什麼是數學？在數學發展的不同階段，人們給它的定義是有區別的。

在古希臘時期，數學一詞是指通過學習獲得的知識。

現在，我們普遍接受的數學定義是：

數學是研究空間形式和數量關係的科學。

所以說，數學是一門既古老又現代的學科。

它是受廣泛的文化及社會政治、經濟和科技發展的影響而逐步形成的體系。

博大精深的數學有三個特點：第一是它的抽象性，第二是它的精確性，第三是它的應用的廣泛性。

由於幾千年的抽象化，使得人們頭腦裡的數學似乎就是枯燥的數字、符號、公式和定理，這影響了許多人對數學的看法。也使許多人對數學望而生畏。

我們常常聽到人們的疑問“數學有用嗎？”這個問題可能影響著你學習數學的態度。

美國數學家克萊因（Kline , 1908年—1992年）曾經說過：“一個時代的總的特徵，在很大程度上與這個時代的數學活動密切相關，在今天我們這個時代尤為重要。”他又說：“數學不僅是一種方法，一種語言，一種藝術，數學更主要的是一門有著豐富內容的知識體系，它的內容對自然科學家、社會科學家、哲學家、邏輯學家和藝術家十分有用，同時，影響著政治家的觀點。數學已經廣泛地影響著人類的生活和思想。”

其實，數學不僅重要而且就在我們的身邊。

有這樣一個問題：一輛汽車在拐彎處急剎車，結果衝到了路邊的溝裡，交警趕到現場時，司機申辯說，他進入彎道時剎車失靈。他說當時他進入彎道時的車速大約是64公里/小時。驗車發現該車的制動器在事故發生時確實失靈，那麼，司機有沒有超速呢？要想鑑定司機所報車速的真實性，數學建模就能夠回答。

現在我們就從什麼是模型談起。

我們知道，模型無處不在。例如，汽車模型、飛機模型、人體模型、建築模型等等。

模型是原型的替代物，是為了某個特定目的對原型的簡縮、模仿和提煉。

那麼，什麼是數學模型呢？

數學模型是針對現實世界的特定物件，為了一定目的，進行必要的簡化和假設，運用數學的符號、關係式等，概括表達問題的數量關係和空間形式的一種工具。

作為一種思考和解決問題的方法，數學模型或者能夠解釋特定現象的現實性態，或者能夠預測所研究問題的未來發展狀況，或者提供處理實際問題的最優決策。

數學模型屬於應用數學，它涉及到純數學與其他學科的互動作用。

數學模型其實也並不是新生事物，可以說有了數學，就有了數學模型。

但是，近些年來，隨著科技的迅猛發展，特別是計算機的廣泛運用，

數學模型這個分支更加活躍起來。

可以這樣說，數學模型是聯絡數學和實際問題的橋樑。

值得注意的是，數學模型與我們以往學習的純數學理論在研究內容、研究方法和研究結果方面，還是有一些區別的。

數學理論的研究內容是：物件的共性和一般規律；

數學模型的研究內容是：物件的個性和特殊規律；

數學理論的研究方法是：按照一般原理，考察特定的物件，演繹推理，匯出結論；

數學模型的研究內容是：根據個別現象，將所得到的資訊進行翻譯、歸納，求解、演繹，給出該問題基於數學意義的解決方案。

數學理論的研究結果是：經過嚴格的證明，結果通常是正確的、精確的。

數學模型的研究結果是：受假設和簡化的影響，結果通常帶有誤差，需要進一步修正、檢驗和完善。

二、談談數學建模

數學建模就是建立數學模型的全過程。比如，前面提到的司機是否違章駕駛的問題，就是一個簡單的數學建模問題。

數學建模就是對某個特定物件，通過對各種素材、資訊加以取捨、選擇，分析研究物件主要因素之間的內在關聯，利用適當的數學原理，對主要因素作新的有用的組合，從而反映與建模目的相適應的事物的本質規律，形成以新的組合為框架的數學結構。

數學建模是一種創造性活動，是為了解決因社會發展的需要而提出來的各種問題。

數學建模的方法主要有——

機理分析法：根據對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數量規律。

測試分析法：將物件看作“黑箱”，通過對量測資料的統計分析，找出與資料擬合最好的模型。

綜合分析法：用機理分析建立模型結構，用測試分析確定模型中的引數。

數學建模主要針對實際案例開展研究 (Case Studies)。

因此，建模時首先要了解實際背景、明確建模目的、蒐集有關資訊、掌握物件特徵。

一般來說，數學建模的過程包括以下幾個步驟：模型準備、模型假設、模型構成、模型求解、模型分析、模型檢驗、模型的改進及應用，等等。

數學建模通常是比較複雜的，這裡我們只解釋其中的兩個環節：

簡化——數學模型反映了研究物件在量的方面的某種本質特徵，從量的方面描寫自然、社會的具體事物和現象。

數學建模的關鍵就要是要抓住主要矛盾，揭示事物和現象內在的數量規律。

也就是說要抽出影響特徵的主要因素，拋棄次要因素。

如果我們考慮的因素太多，模型太複雜，就不易處理；如果捨去的東西太多，模型雖然簡單，又可能不符合實際。所以取捨或選擇要力求抓住主要矛盾，反映事物的本質。

假設——假設也是建立數學模型的一個重要步驟。有時候，假設是理想化的，是為了處理問題的方便提出來的。

通過假設把物件相應的性質近似的刻畫出來，進而反映它的本質。

必須強調的是，假設必須有足夠的合理性。如果假設超出客觀實際和常識太遠，就會“不靠譜”了，常常會導致做出的數學模型沒有意義，沒有價值。

數學建模的具體步驟還有很多，這裡我們不多講。

值得一提的是，數學建模是從問題開始的，提出問題、收集資訊十分重要。瞭解相關學科的背景知識也必不可少。

可以說，沒有長時間的數學思維訓練，沒有廣博的數學知識，沒有嚴格的治學態度，沒有一定的數學建模訓練，是很難做出優美的數學模型的。

三、關於數學美

你或許會問，數學是科學，怎麼和美有關係呢？

進入21世紀以來,隨著數字化資訊時代的到來，許多世界一流的數學家看到了數學理論的審美價值，體驗到美學方法在數學研究中有著重要的作用，是人的意志、智慧、激情或者說人的本質力量的顯現，從而情不自禁的謳歌數學美，引領人們熱愛數學。

所以，我們有必要以美的方式來解讀數學、學習數學、熱愛數學。

先談談什麼是美？

所謂美就是其所有的各個構成部分都均勻、不能再增減一筆或者改變半分。美就是一種與世界之普遍和諧的一致。

生活中，美的東西很多，有美麗的花、美麗的人、美麗的山川、美麗的建築。

那麼，什麼是數學美？

我們聽聽數學家怎麼說。

哈代（Hardy，1877年—1947年）說：“數學家的模式，就像畫家或詩人的模式一樣，是充滿美感的；數學的概念就像畫家的顏色或詩人的文字一樣，一定會和諧地組合在一起。美感是首要的試金石，醜陋的數學在世界上是站不住腳的。”

羅素（Russell，1872-1970）說：“數學，如果正確地看它，不但擁有真理，而且有至高的美，這是一種莊重而嚴格的美，這種美不是投合於我們天性中的脆弱的方面，而是純淨到了崇高的地步，能夠達到嚴格且只有最偉大的藝術才能顯示的那種完美的境地。”

克萊因在《西方文化中的數學》一書中強調，“作為一種寶貴的、無可比擬的人類成就，數學在使人賞心悅目和提供審美價值方面，至少可與其他任何一種文化門類媲美。”

前面提到，我們常常把美和藝術聯絡起來。是的，藝術作品追求美的表現，比如，一首詩、一幅畫常常能激起我們心靈的美感。

龐加萊（Poincaré，1854年—1912年）指出：藝術選擇那些最能使藝術形象完整並賦予個性和生氣的事實。科學總是選擇最能反映宇宙和諧的事實。

偉大的愛因斯坦（Einstein，1879年－1955年）說，人們總想以最適當的方式來畫出一幅簡化的和易領悟的世界影像。於是他們就試圖用他們的這種世界體系來代替經驗的世界，並來征服它。

這就是數學家、哲學家和自然科學家所做的工作。他們都按自己的方式去創造美的作品，當然也包括數學模型。

所以說，數學美和藝術美十分相似。事實上，數學在很大程度上也是一門藝術。

數學和藝術都在恰到好處近似地描繪著我們這個多姿多彩的世界。

和創造一個有魅力的藝術作品一樣，數學模型也是一種創造，而且必須符合美學的原則。

所以，數學模型之美，就表現在建立這個數學模型的過程之中，它的每個環節都在向我們展示著它的簡潔之美、抽象之美、對稱之美、奇異之美、結構之美、統一之美，等等。

四、談談思維方法

數學建模，目的是數學來解決實際問題，就像解決“一題多解”的應用題。

不僅需要數學知識和相關學科領域的背景知識，數學思維也是建立數學模型和解決實際問題的重要基礎。

先談談聯想和想象——

聯想是從一個事物想象到另一事物的心理過程。

想象是人們對頭腦中感知的形象、表象，加工改造成新形象的心理活動。

可以說，沒有聯想和想象就沒有創造。

唐代詩人李賀《夢天》中有這樣一句詩“遙望齊州九點菸，一泓海水杯中瀉”、李白《望廬山瀑布》中有著名的詩句“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”，這些詩句都極富想象力。

齊白石有一幅名畫：“蛙聲十里出山泉”，背景是遠山，近景是一片帶有幾隻蝌蚪的從山間亂石中瀉出來的急流，畫面上我們雖然並沒有看到一隻大青蛙，卻從湍流中活潑生動的小蝌蚪身上聽見了十里蛙聲。大師作畫的時候，準確的捕捉了主題，把物件的形和神真實生動的表現了出來，展示了絕妙無比的想象力。

只有經過深入的、準確的分析，充分體會和掌握物件的特殊本質及其特徵，才能創造出有魅力、有價值的作品。

開普勒通過計算，發現地球繞太陽執行的圓軌道存在較大的誤差，從而聯想到這個軌道應該是橢圓的。

維納在麻省理工學院面對美麗的查爾斯河景色時，浮想聯翩。這奔騰不息的波浪具有什麼數學的規律性呢？於是就產生了維納過程等數學模型。

談談直覺和靈感——

直覺思維是指對於一個問題未經逐步分析，僅僅依據內因的感知迅速對問題作出判斷、猜想和設想，或者突然產生的“靈感”和“頓悟”，甚至對答案和結果的“預感”、“預測”。

數學和藝術都離不開直覺和靈感。

直覺是非邏輯的，是對事物一種直接的迅速的識別和綜合判斷。

西方現代舞之母伊莎多拉．鄧肯（Duncan，1878年—1927年）曾說“我的舞蹈動作是從大自然的源泉中得來的，我的靈感從樹林、雲彩、海浪以及介於熱情和山嵐之間、或恬靜與微風之間的共感而來。”

建立數學模型時，要緊緊抓住稍縱即逝的智慧火花——靈感。

談談發散思維——

發散思維也稱為輻射思維、放射思維、擴散思維或求異思維，是指大腦在思維時呈現的一種擴散狀態的思維模式。它表現為思維視野廣闊，呈現多維的發散狀。

這一點和繪畫的佈置或構圖很相似。

中國畫講究大小相間、高下相傾、聚散相應、前後相通的和諧效果，追求意境的創造。

我們知道，對同一類事物的描寫，有形式不同的藝術作品，這恰恰表現了藝術家各自的獨具匠心、情感和風格。比如，

齊白石和畢加索都畫過和平鴿，風格迥異；

張大千、劉海粟都畫過山水畫，卻有不同的魅力。

以不同的數學方法觀察和處理同一類問題，它們的數學模型構成也會各有千秋。

“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，這句詩可以用來形容從不同角度、用不同方法觀察表現物件的數學建模效果。

談談抽象思維——

抽象是人類的一種高階的智慧。

是人們在認識活動中，運用概念、判斷、推理等思維形式，對客觀現實進行間接的、概括的反映。

數學模型構成的方法似乎更接近於強調錶現的現代抽象藝術。

在一些現代藝術家眼裡，藝術的目的就是把觀眾放在一種數學性質的狀態中，即一種高尚的秩序的狀態中。

人們高度稱讚畢加索：世界上從來沒有一位畫家像畢加索那樣有著驚人的坦誠之心和天真無邪的創造力。

牛頓（Newton，1643年—1727年）想象物體之間存在著超距的作用力。於是，他把偌大的天體抽象成質量集中在中心的一個質點，建立了萬有引力模型。

總之，一個成功的數學模型，如果它是美的，那麼首先就應該是真的、合理的，善的、有意義的，必須具有可靠性和適用性。

但是，數學建模時，我們也不必過於追求完美，只要在允許的誤差意義下，在符合實際方面可以接受的情況下，就完成了這個數學模型的建立。

數學模型的廣告詞：“沒有最好，只有更好”！

正如數學家瑞尼(Alfred Renyi 1921—1970）說，“甚至一個粗糙的數學模型也能幫助我們更好地理解一個實際的問題。因為建立數學模型時，我們通常受限地考慮了各種邏輯關係，不含混地約定了所有的概念，並且區分了重要的和次要的因素。所以，一個數學模型即使匯出了與事實不完全符合的結果，它也還可能是有價值的，因為一個模型的失敗常常可以幫助我們去尋找和建立更好的模型。”

我們探討數學模型之美，是希望我們能夠從思想方法上更好地駕馭數學模型。雖然我們也談了一些數學建模相關知識，但是還很不夠。要想深入地開展數學建模活動，還有待進一步的學習、提高與實踐。正如那句話說的好“要知道梨子甜不甜，品嚐一下才會知道”。

希望我們在對數學模型之美的欣賞中，喜歡數學，喜歡數學建模。

本文來自靖新科學網部落格。
連結地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-680136-806181.html 

∑編輯 | Gemini

演算法數學之美微信公眾號歡迎賜稿

稿件涉及數學、物理、演算法、計算機、程式設計等相關領域
稿件一經採用，我們將奉上稿酬。

投稿郵箱：math_alg@163.com