二、八、十、十六進位制轉換(圖解篇)

weixin_34391854發表於2018-02-01
原文:二、八、十、十六進位制轉換(圖解篇)

一.本文所涉及的內容(Contents)

  1. 本文所涉及的內容(Contents)
  2. 背景(Contexts)
  3. 進位制轉換演算法(Convert)
    1. (二、八、十六進位制) → (十進位制)
      1. 二進位制 → 十進位制
      2. 八進位制 → 十進位制
      3. 十六進位制 → 十進位制
    2. (十進位制) → (二、八、十六進位制)
      1. 十進位制 → 二進位制
      2. 十進位制 → 八進位制
      3. 十進位制 → 十六進位制
    3. (二進位制) ↔ (八、十六進位制)
      1. 二進位制 → 八進位制
      2. 八進位制 → 二進位制
      3. 二進位制 → 十六進位制
      4. 十六進位制 → 二進位制
    4. (八進位制) ↔ (十六進位制)
      1. 八進位制 → 十六進位制
      2. 十六進位制 → 八進位制
  4. 擴充套件閱讀
  5. 參考文獻(References)

二.背景(Contexts)

  之前使用SQL把十進位制的整數轉換為三十六進位制,SQL程式碼請參考:SQL Server 進位制轉換函式,其實它是基於二、八、十、十六進位制轉換的計算公式的,進位制之間的轉換是很基礎的知識,但是我發現網路上沒有一篇能把它說的清晰、簡單、易懂的文章,所以我才寫這篇文章的念頭,希望能讓你再也不用擔心、害怕進位制之間的轉換了。

  下面是二、八、十、十六進位制之間關係的結構圖:

wpsC01D.tmp

(Figure1:進位制關係結構圖)

下文會分4個部分對這個圖進行分解,針對每個部分會以圖文的形式進行講解:

  1. (二、八、十六進位制) → (十進位制);
  2. (十進位制) → (二、八、十六進位制);
  3. (二進位制) ↔ (八、十六進位制);
  4. (八進位制) ↔ (十六進位制);

三.進位制轉換演算法(Convert)

  在數字後面加上不同的字母來表示不同的進位制。B(Binary)表示二進位制,O(Octal)表示八進位制,D(Decimal)或不加表示十進位制,H(Hexadecimal)表示十六進位制。例如:(101011)B=(53)O=(43)D=(2B)H

(一) (二、八、十六進位制) → (十進位制)

wpsC01E.tmp

(Figure2:其他進位制轉換為十進位制)

  • 二進位制 → 十進位制

  方法:二進位制數從低位到高位(即從右往左)計算,第0位的權值是2的0次方,第1位的權值是2的1次方,第2位的權值是2的2次方,依次遞增下去,把最後的結果相加的值就是十進位制的值了。

  例:將二進位制的(101011)B轉換為十進位制的步驟如下:

1. 第0位 1 x 2^0 = 1;

2. 第1位 1 x 2^1 = 2;

3. 第2位 0 x 2^2 = 0;

4. 第3位 1 x 2^3 = 8;

5. 第4位 0 x 2^4 = 0;

6. 第5位 1 x 2^5 = 32;

7. 讀數,把結果值相加,1+2+0+8+0+32=43,即(101011)B=(43)D。

  • 八進位制 → 十進位制

  方法:八進位制數從低位到高位(即從右往左)計算,第0位的權值是8的0次方,第1位的權值是8的1次方,第2位的權值是8的2次方,依次遞增下去,把最後的結果相加的值就是十進位制的值了。

  八進位制就是逢8進1,八進位制數採用 0~7這八數來表達一個數。

  例:將八進位制的(53)O轉換為十進位制的步驟如下:

1. 第0位 3 x 8^0 = 3;

2. 第1位 5 x 8^1 = 40;

3. 讀數,把結果值相加,3+40=43,即(53)O=(43)D。

  • 十六進位制 → 十進位制

  方法:十六進位制數從低位到高位(即從右往左)計算,第0位的權值是16的0次方,第1位的權值是16的1次方,第2位的權值是16的2次方,依次遞增下去,把最後的結果相加的值就是十進位制的值了。

  十六進位制就是逢16進1,十六進位制的16個數為0123456789ABCDEF。

  例:將十六進位制的(2B)H轉換為十進位制的步驟如下:

1. 第0位 B x 16^0 = 11;

2. 第1位 2 x 16^1 = 32;

3. 讀數,把結果值相加,11+32=43,即(2B)H=(43)D。

(二) (十進位制) → (二、八、十六進位制)

wpsC01F.tmp

(Figure3:十進位制轉換為其它進位制)

  • 十進位制 → 二進位制

  方法:除2取餘法,即每次將整數部分除以2,餘數為該位權上的數,而商繼續除以2,餘數又為上一個位權上的數,這個步驟一直持續下去,直到商為0為止,最後讀數時候,從最後一個餘數讀起,一直到最前面的一個餘數。 

  例:將十進位制的(43)D轉換為二進位制的步驟如下:

1. 將商43除以2,商21餘數為1;

2. 將商21除以2,商10餘數為1;

3. 將商10除以2,商5餘數為0;

4. 將商5除以2,商2餘數為1;

5. 將商2除以2,商1餘數為0; 

6. 將商1除以2,商0餘數為1; 

7. 讀數,因為最後一位是經過多次除以2才得到的,因此它是最高位,讀數字從最後的餘數向前讀,101011,即(43)D=(101011)B。

wpsC02F.tmp

(Figure4:圖解十進位制 → 二進位制)

  • 十進位制 → 八進位制

  方法1:除8取餘法,即每次將整數部分除以8,餘數為該位權上的數,而商繼續除以8,餘數又為上一個位權上的數,這個步驟一直持續下去,直到商為0為止,最後讀數時候,從最後一個餘數起,一直到最前面的一個餘數。

  例:將十進位制的(796)D轉換為八進位制的步驟如下:

1. 將商796除以8,商99餘數為4;

2. 將商99除以8,商12餘數為3;

3. 將商12除以8,商1餘數為4;

4. 將商1除以8,商0餘數為1;

5. 讀數,因為最後一位是經過多次除以8才得到的,因此它是最高位,讀數字從最後的餘數向前讀,1434,即(796)D=(1434)O。

wpsC030.tmp

(Figure5:圖解十進位制 → 八進位制)

  方法2:使用間接法,先將十進位制轉換成二進位制,然後將二進位制又轉換成八進位制;

wpsC031.tmp

(Figure6:圖解十進位制 → 八進位制)

  • 十進位制 → 十六進位制

  方法1:除16取餘法,即每次將整數部分除以16,餘數為該位權上的數,而商繼續除以16,餘數又為上一個位權上的數,這個步驟一直持續下去,直到商為0為止,最後讀數時候,從最後一個餘數起,一直到最前面的一個餘數。

  例:將十進位制的(796)D轉換為十六進位制的步驟如下:

1. 將商796除以16,商49餘數為12,對應十六進位制的C;

2. 將商49除以16,商3餘數為1;

3. 將商3除以16,商0餘數為3;

4. 讀數,因為最後一位是經過多次除以16才得到的,因此它是最高位,讀數字從最後的餘數向前讀,31C,即(796)D=(31C)H。

wpsC042.tmp

(Figure7:圖解十進位制 → 十六進位制)

  方法2:使用間接法,先將十進位制轉換成二進位制,然後將二進位制又轉換成十六進位制;

wpsC043.tmp

(Figure8:圖解十進位制 → 十六進位制)

(三) (二進位制) ↔ (八、十六進位制)

wpsC044.tmp

(Figure9:二進位制轉換為其它進位制)

  • 二進位制 → 八進位制

  方法:取三合一法,即從二進位制的小數點為分界點,向左(向右)每三位取成一位,接著將這三位二進位制按權相加,然後,按順序進行排列,小數點的位置不變,得到的數字就是我們所求的八進位制數。如果向左(向右)取三位後,取到最高(最低)位時候,如果無法湊足三位,可以在小數點最左邊(最右邊),即整數的最高位(最低位)添0,湊足三位。

  例:將二進位制的(11010111.0100111)B轉換為八進位制的步驟如下:

1. 小數點前111 = 7;

2. 010 = 2;

3. 11補全為011,011 = 3;

4. 小數點後010 = 2;

5. 011 = 3;

6. 1補全為100,100 = 4;

7. 讀數,讀數從高位到低位,即(11010111.0100111)B=(327.234)O。

wpsC054.tmp

(Figure10:圖解二進位制 → 八進位制)

二進位制與八進位制編碼對應表:

二進位制

八進位制

000

0

001

1

010

2

011

3

100

4

101

5

110

6

111

7

 

  • 八進位制 → 二進位制

  方法:取一分三法,即將一位八進位制數分解成三位二進位制數,用三位二進位制按權相加去湊這位八進位制數,小數點位置照舊。

  例:將八進位制的(327)O轉換為二進位制的步驟如下:

1. 3 = 011;

2. 2 = 010;

3. 7 = 111;

4. 讀數,讀數從高位到低位,011010111,即(327)O=(11010111)B。

wpsC055.tmp

(Figure11:圖解八進位制 → 二進位制)

  • 二進位制 → 十六進位制

  方法:取四合一法,即從二進位制的小數點為分界點,向左(向右)每四位取成一位,接著將這四位二進位制按權相加,然後,按順序進行排列,小數點的位置不變,得到的數字就是我們所求的十六進位制數。如果向左(向右)取四位後,取到最高(最低)位時候,如果無法湊足四位,可以在小數點最左邊(最右邊),即整數的最高位(最低位)添0,湊足四位。

  例:將二進位制的(11010111)B轉換為十六進位制的步驟如下:

1. 0111 = 7;

2. 1101 = D;

3. 讀數,讀數從高位到低位,即(11010111)B=(D7)H。

wpsC056.tmp

(Figure12:圖解二進位制 → 十六進位制)

  • 十六進位制 → 二進位制

  方法:取一分四法,即將一位十六進位制數分解成四位二進位制數,用四位二進位制按權相加去湊這位十六進位制數,小數點位置照舊。

  例:將十六進位制的(D7)H轉換為二進位制的步驟如下:

1. D = 1101;

2. 7 = 0111;

3. 讀數,讀數從高位到低位,即(D7)H=(11010111)B。

wpsC057.tmp

(Figure13:圖解十六進位制 → 二進位制)

(四) (八進位制) ↔ (十六進位制)

wpsC058.tmp

(Figure14:八進位制與十六進位制之間的轉換)

  • 八進位制 → 十六進位制

  方法:將八進位制轉換為二進位制,然後再將二進位制轉換為十六進位制,小數點位置不變。

  例:將八進位制的(327)O轉換為十六進位制的步驟如下:

1. 3 = 011;

2. 2 = 010;

3. 7 = 111;

4. 0111 = 7;

5. 1101 = D;

6. 讀數,讀數從高位到低位,D7,即(327)O=(D7)H。

wpsC069.tmp

(Figure15:圖解八進位制 → 十六進位制)

  • 十六進位制 → 八進位制

  方法:將十六進位制轉換為二進位制,然後再將二進位制轉換為八進位制,小數點位置不變。

  例:將十六進位制的(D7)H轉換為八進位制的步驟如下:

1. 7 = 0111;

2. D = 1101;

3. 0111 = 7;

4. 010 = 2;

5. 011 = 3;

6. 讀數,讀數從高位到低位,327,即(D7)H=(327)O。

wpsC06A.tmp

(Figure16:圖解十六進位制 → 八進位制)

四.擴充套件閱讀

  1. 包含小數的進位制換算:

(ABC.8C)H=10x16^2+11x16^1+12x16^0+8x16^-1+12x16^-2

=2560+176+12+0.5+0.046875

=(2748.546875)D

  2. 負次冪的計算:

2^-5=2^(0-5)=2^0/2^5=1/2^5

同底數冪相除,底數不變,指數相減,反過來

3. 我們需要了解一個數學關係,即23=8,24=16,而八進位制和十六進位制是用這關係衍生而來的,即用三位二進位制表示一位八進位制,用四位二進位制表示一位十六進位制數。接著,記住4個數字8、4、2、1(23=8、22=4、21=2、20=1)。

五.參考文獻(References)

二進位制、八進位制、十進位制、十六進位制之間轉換

二進位制如何轉換成八進位制

相關文章