陣列的位移運算

題目：

設計一個演算法，把一個含有N個元素的陣列迴圈右移K位，要求時間複雜度為O(N)，且只允許使用兩個附加變數。

分析：

通常人們的直覺可能是每次將陣列中的元素右移一位，但這樣的複雜度為O(K*N)，不符合題目的要求。

假如陣列為abcd1234，迴圈右移4位的話，我們希望到達的狀態是1234abcd。不妨設K是一個非負的整數，當K為負整數的時候，右移K位，相當於左移（-K）位。左移和右移在本質上是一樣的。

【解法一】

大家開始可能會有這樣的潛在假設，K<N。事實上，很多時候也的確是這樣的。但嚴格地說，我們不能用這樣的“慣性思維”來思考問題。尤其在程式設計的時候，全面地考慮問題是很重要的，K可能是一個遠大於N的整數，在這個時候，上面的解法是需要改進的。

仔細觀察迴圈右移的特點，不難發現：每個元素右移N位後都會回到自己的位置上。因此，如果K > N，右移K-N之後的陣列序列跟右移K位的結果是一樣的。進而可得出一條通用的規律：右移K位之後的情形，跟右移K’= K % N位之後的情形一樣。

RightShift(int* arr, int N, int K)
{
    K %= N;
    while(K--) {
        int t = arr[N - 1];
        for(int i = N - 1; i > 0; i --)
            arr[i] = arr[i - 1];
        arr[0] = t;
    }
}

可見，增加考慮迴圈右移的特點之後，演算法複雜度降為O（N２），這跟K無關，與題目的要求又接近了一步。但時間複雜度還不夠低，接下來讓我們繼續挖掘迴圈右移前後，陣列之間的關聯。

【解法二】

假設原陣列序列為abcd1234，要求變換成的陣列序列為1234abcd，即迴圈右移了4位。比較之後，不難看出，其中有兩段的順序是不變的：1234和abcd，可把這兩段看成兩個整體。右移K位的過程就是把陣列的兩部分交換一下。變換的過程通過以下步驟完成：

1.   逆序排列abcd：abcd1234 → dcba1234；

2.   逆序排列1234：dcba1234 → dcba4321；

3.   全部逆序：dcba4321 → 1234abcd。

虛擬碼可以參考如下：

Reverse(int* arr, int b, int e)
{
    for(; b < e; b++, e--) {
        int temp = arr[e];
        arr[e] = arr[b];
        arr[b] = temp;
    }
} 

RightShift(int* arr, int N, int k)
{
    K %= N;
    Reverse(arr, 0, N – K - 1);
    Reverse(arr, N - K, N - 1);
    Reverse(arr, 0, N - 1);
}

這樣，我們就可以線上性時間內實現右移操作了。

 

來源於微信：一天一道演算法題