大學數學新生入門學習數學方法導引 by Ph.D.王小龍

我想大家都有這樣的體會：小學的時候你根本不知道初中數學是什麼樣，高中的時候你也根本想不到大學數學是什麼樣。而大學生，如果你不專注於數學，恐怕也不知道現代數學是什麼模樣。下面將分別從學數學的動機、數學不同學科的分類以及如何切實可行培養數學能力等幾個方面闡述如何學習數學。

進入正題，如何學好數學

一、認清你的需要

為什麼需要學習數學，這是你首先需要想清楚的問題。數學學科子分類多、每一本數學書中都有許多定理和結論，需要花大量時間研究。而人的時間是寶貴的、有限的，所以你需要大體有一個目標和計劃，合理安排時間。

1.1你的目標是精通數學、鑽研數學，以數學謀生，你可能立志掌握代數幾何，或者想精通前沿物理。那麼你需要打下堅實的現代代數、幾何以及分析基礎，你需要準備大量時間和精力，擁有堅定不移的決心。（要求：精通全部三級高等數學）

1.2 你的目標是能夠熟練運用高等數學，解決問題，掌握探索新應用領域的武器，你可能立志進入計算機視覺領域、經濟學領域或資料探勘領域。那麼，你需要打下堅實的矩陣論、微積分以及概率統計基礎。（要求：精通第一級高等數學）

1.3 你的目標是想了解數學的樂趣，把學數學作為人生一大業餘愛好。那麼，你需要打下堅實的線性代數、數學分析、拓撲學以及概率統計基礎，對你來說，體會學數學的樂趣是一個更重要的目標。（精通第一級高等數學，在第二級高等數學中暢遊，嘗試接觸第三級高等數學）

二、給自己足夠的動力

學數學需要智力，更需要時間和精力。下面的幾個事實相大家都深有體會：

1. 凡是沒有用的東西，或者雖然有用，但是你用不到的東西，學得快忘得也快。不信你回憶一下你大一或者初一的基礎課，你還記的清楚嗎？

2. 凡是你不感興趣（或者感覺不到樂趣）的東西，你很難堅持完成它。很多人都有這樣的經歷，一本書，前三章看的很仔細，後面就囫圇吞棗，越看越快，反正既沒意思也沒用。

3. 小學數學是中學數學的基礎，中學數學是高中數學的基礎，高中數學是大學數學的基礎（你可以以此類推）。

因此，無論你的目標是什麼，搞數學、用數學、還是體會數學的樂趣、滿足自己從少年時就有的夢想。學有所樂、學有所用，永遠是維持你動力不衰退的兩個最主要的因素。

三、高等數學學什麼？

好了，來看看標準大學數學的科技樹：

一級：

線性代數（矩陣論），數學分析，近世代數（群環域），分別囊括了了幾何、分析和代數的基礎理論。別忘了還有概率論（建立在分析之上的一門基礎學科）。

二級：

有了這些基礎，接著是基礎的基礎、抽象和推廣：測度論（積分的基礎，當然也是概率論的基礎），拓撲學（有關集合、空間、幾何的一門極度重要的基礎學科），泛函分析（線性代數的推廣），複變函式（分析的推廣），常微分方程與偏微分方程（分析的推廣），數理統計和隨機過程（概率論的推廣），微分幾何（分析和幾何的結合）。

然後是一些小清新和應用學科：數值分析（演算法），密碼學，圖形學，資訊理論，時間序列，圖論等等。

三級：

再往上是研究生課題，往往是代數、幾何和分析要一起上：微分流形、代數幾何、隨機動力學等等。

這個科技樹的三級，和小學、初中、高中數學很相似，一層學不精通，下一層看天書。

四、如何學習

4.1 適量做題

千萬千萬千萬不要狂做題。玩過戰略對抗遊戲的同學都知道，低階兵造幾個就行了，要攢錢出高階兵才能在後期取勝，低階兵不僅攻擊力低，還沒有好玩的魔法，它們存在的意義在於讓你有能力熬到後期。上面列舉了那麼多課程，你先花5年做完吉米諾維奇六本數學分析習題集，你就30歲了，後面的二級課程還沒開始學呢。因此，做一些課後習題，幫助你複習、思考、維持大腦運轉就行，要不斷地向後學。如果完全學不懂了，返回來做習題幫自己理清頭緒。

4.2 瞭解思想

數學的精髓不是做題的數量，而是掌握思想。每一個數學分支都有自己的主線思想和方法論，不同分支也有相互可供對比和借鑑的思維方式。留意它，模仿它，瑣碎的知識就串成了一條項鍊，你也就掌握了一門課。思想並不是讀一本教材就能輕易瞭解的，你要讀好幾本書，瞭解一些應用才能體會。舉兩個例子：

微積分的主線有這麼幾條：認識到微觀和巨集觀是有聯絡的，微分用來刻畫事物如何變化，它把細節放大給你看，而積分用來刻畫事物的整體性質；微分和積分有時是描述一個現象的不同方式，這一點你在數學分析書中可能不容易發現，但是如果學點物理，就會發現麥克斯韋方程組同時有等價的微分形式和積分形式；積分變換能夠建立不同空間之間的的聯絡，建立空間和空間邊界的聯絡，這就是Stokes定理： 這個公式最遲要在微分流形中你才能一窺全貌。

矩陣是空間中線性變換的抽象，線性代數這門課的全部意義在於研究如何表達、化簡、分類空間線性變換運算元；SVD分解不僅在應用學科用有極為廣泛的亮相，也是你理解矩陣的有力工具；矩陣是有限維空間上的線性運算元，對"空間"的理解不僅能讓你重新認識矩陣，更為泛函分析的學習開了個好頭。

4.3 漸進式迂迴式學習，對比學習

很多時候，只讀一本書，可能由於作者在某處思維跳躍了一下，以後你就再也跟不上了。學習數學的一個訣竅，就是你同時拿到好幾本國際知名教材，相互對比著看，或者看完一本然後再看同一主題的另一本書，已經熟悉的內容跳過去，如果看不懂了，停下來思考或者做做習題，還是不懂則往後退一退，從能看懂的部分向前推進，當你看的多了，就會發現一個東西出現在很多地方，對它的理解就加深了。舉兩個例子：

外微分這個東西，國內有的數學分析書裡可能不介紹，我第一次遇到是在彭家貴的《微分幾何》裡，覺得這是個方便巧妙的工具；後來讀卓裡奇的《數學分析》和Rudin的《數學分析原理》，都講了這個東西，可見在西方外微分是一個基礎知識。你要讀懂它，可能要首先理解矩陣，明白行列式恰好是空間體積在矩陣的變換下拉伸的倍數，它是一種線性形式。最後，當你讀微分流形後，將發現外微分是獲得流形上的Stokes定理的工具。

點集拓撲學這個東西，搞應用用不到。但是但凡你想往深處學，這一門學科就必須要掌握，因為它提供對諸如開集、緊集、連續、完備等數學基本概念的精準刻畫。往後學泛函分析、微分流形，沒有這些概念你將寸步難行。首先你要讀芒克里斯的曠世名著《拓撲學》，接著在讀其他外國人寫的書時，或多或少都會接觸一些相關概念，你的理解就加深了，比如讀Rudin的《泛函分析》，開始就是介紹線性拓撲空間，前面的知識你就能用上了。

4.4 建立不同學科的聯絡

看到一個東西在很多地方用，你對它的理解就加深了，慢慢也就能體會到這個東西的精妙，最後你會發現所有的基礎學科相互交織，又在後續應用中相互幫助，切實體會到它們真的很基礎，很有用。這是一種體會數學樂趣的途徑。

4.5 關注應用學科

沒有什麼比應用更能激發你對新知識、新工具的渴望。找一些感興趣的應用學科教材，讀一讀，開闊眼界，為自己的未來積累資源。以下結合自己的專業（計算機視覺）和愛好說說一些優秀的專業書籍：

學了微積分，就可以無壓力閱讀《費恩曼物理學講義第一卷》，瞭解力、熱、光、時空的奧祕；學了偏微分方程，就可以無壓力閱讀《費恩曼物理學講義第二卷》，瞭解電的奧祕；學了矩陣論，可以買一本《計算機視覺中的多檢視幾何》，瞭解成像的奧祕，程式設計進行影像序列的三維重建；學了概率論的同學應該會聽說過貝葉斯學派和頻率學派，這兩個學派的人把戰場拉到了機器學習領域，成就了兩本經典著作《Pattern Recognition And Machine Learning》和《TheElements of Statistical Learning》，讀了它們，我被基礎數學為機器學習領域提供的豐碩成果和深刻見解深深折服；讀了《Ray Tracing from the Ground Up》，自己寫了一個光線追蹤器渲染真實場景，它的基礎就是一點點微積分和矩陣......

高等數學的應用實在是太多了，如果你喜歡程式設計，自動化、機器人、計算機視覺、模式識別、資料探勘、圖形影像、資訊理論和密碼學......到處都有大量模型供你玩耍，而且只需要一點點高等數學。在這些領域，你可能能發現比數學書更有趣，也更容易找到工作的目標。

4.6 找有趣的書看

數學家寫的書有時是比較死板的，但是總有一些教材，它們的作者有強烈的慾望想向你展示"這個東西其實很有趣"，"這個東西完全不是你想的那個樣子"等等，他們成功了；還有些作者，他們喜歡把一個東西在不同領域的應用，和不同東西在某一領域的應用集中展示給你看。這樣的書會提供給你充足的樂趣讀下去。典型代表就是國內出版的一套《圖靈數學統計學叢書》，這一套書實在是太棒了，比如《線性代數應該這樣學》《複分析：視覺化方法》《微分方程、動力系統與混沌導論》，個人認為都是學數學必讀的經典教材，非常非常有趣。

五、多讀書，讀好書

如果只有一句話概括如何培養數學能力，那麼就是這一句：多讀書，讀好書。因此這一步我想單獨拿出來多說兩句。

想必大家都十分精通並能熟練應用小學數學。想讀懂代數幾何，或者退一步，想讀懂資訊理論基礎，你就要挑幾本好的基礎教材，最好是外國人寫的，像掌握小學數學那樣掌握它。不要只看一本，找三本不同作者的書，對比著看，逐行逐字看。有的地方肯定看不懂，記下來，說不定在另一本書的某個地方就從另一個角度說到了這個東西。

如果你以後還要往後學，現在看到的每一個基礎定理，以後還會用到。

每一本基礎書，你今天放棄，明天還要乖乖重頭再來。

要像讀經文一樣，交叉閱讀對比不同教材內容的異同。

5.1. 推薦教材（其實就是我讀過的覺得好的書）：

第一級：

《線性代數應該這樣學》

卓裡奇《數學分析（兩冊）》（讀英文版吧，不難。有網友說這個還是不太簡單，那你可以先看個國內教材，然後回過頭來再看這個）

復旦大學《概率論》

第二級：

芒克里斯《拓撲學》

圖靈叢書的一些分冊

柯斯特利金《代數學引論》

Vapnik《統計學習理論的本質》

Rudin《數學分析原理》

Rudin《泛函分析》

Gamelin《複分析》

彭家貴《微分幾何》

Cover《資訊理論基礎》

第三級：

《微分流行與黎曼幾何》

《現代幾何學，方法與應用》三卷

5.2. 閱讀一些科普教材

《數學是什麼》

《高觀點下的初等數學》

《巴赫、埃舍爾、哥德爾》

《e的故事》

5.3. 閱讀各個領域最有趣、最活潑、最讓你長知識、最重視應用、文筆最易懂的教材和書籍

《費恩曼物理學講義》三冊

《混沌與分形：科學的新疆界》

《微分方程、動力系統與混沌導論》

《複分析：視覺化方法》

最後想說，數學是一個無底洞，會消耗掉你寶貴的青春。一無所知的你可能勵志搞懂現代數學，但是多會半途卻步，同時剩下的時間又不夠精通另一門科學。而且即使你精通純數學，沒有幾篇好文章也並不容易找工作。

我的建議是在閱讀數學的過程中開拓眼界，純數學和應用數學學科都看看，找到感興趣、應用廣泛、工作好找（來錢）的方向再一猛紮下去成為你的事業。比如數學紮實，程式設計能力也強的人就很有前途。

另外推薦
數學（數學分析、高等代數、高等幾何）有什麼用處？看完後恍然大悟！