BZOJ 1048: [HAOI2007]分割矩陣 記憶化搜尋，二維字首和

Description

　　將一個a*b的數字矩陣進行如下分割：將原矩陣沿某一條直線分割成兩個矩陣，再將生成的兩個矩陣繼續如此分割（當然也可以只分割其中的一個），這樣分割了（n-1)次後，原矩陣被分割成了n個矩陣。（每次分割都只能
沿著數字間的縫隙進行）原矩陣中每一位置上有一個分值，一個矩陣的總分為其所含各位置上分值之和。現在需要
把矩陣按上述規則分割成n個矩陣，並使各矩陣總分的均方差最小。請程式設計對給出的矩陣及n，求出均方差的最小值。
Input

　　第一行為3個整數，表示a,b,n的值。第二行至第n+1行每行為b個小於100的非負整數，表示矩陣中相應位置上的分值。每行相鄰兩數之間用一個空
格分開。

Output

　　僅一個數，為均方差的最小值（四捨五入精確到小數點後2位）
Sample Input
5 4 4

2 3 4 6

5 7 5 1

10 4 0 5

2 0 2 3

4 1 1 1
Sample Output
0.50

解題思路：
1：首先要知道均方差是什麼，它就是我們經常說的標準差。
2：記憶化搜尋。預處理二維字首和

程式碼如下:

//bzoj 1048
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; i++)
int n, m, K;
double ave;
int a[15][15], sum[15][15];
double dp[15][15][15][15][15];
double dfs(int a, int b, int c, int d, int k){
    double &res = dp[a][b][c][d][k];
    if(res != -1) return res;
    if(k == 0){
        res = sum[b][d] - sum[a - 1][d] - sum[b][c - 1] + sum[a - 1][c - 1];
        res = (res - ave) * (res - ave);
        return res;
    }
    res = 1e9;
    for(int i = a + 1; i <= b; i++){
        for(int j = 0; j < k; j++){
            res = min(res, dfs(a, i - 1, c, d, j) + dfs(i, b, c, d, k - j - 1));
        }
    }
    for(int i = c + 1;  i <= d; i++){
        for(int j = 0; j < k; j++){
            res = min(res, dfs(a, b, c, i - 1, j) + dfs(a, b, i, d, k - j - 1));
        }
    }
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &K);
    rep(i, 0, 10){
        rep(j, 0, 10){
            rep(k, 0, 10){
                rep(l, 0, 10){
                    rep(t, 0, 10){
                        dp[i][j][k][l][t] = -1;
                    }
                }
            }
        }
    }
    rep(i, 1, n){
        rep(j, 1, m){
            scanf("%d", &a[i][j]);
        }
    }
    rep(i, 1, n){
        rep(j, 1, m){
            sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1] + a[i][j];
        }
    }
    ave = (double)sum[n][m] / K;
    dfs(1, n, 1, m, K - 1);
    printf("%.2f\n", sqrt(dp[1][n][1][m][K-1] / K));
    return 0;
}