實現堆排序

    

1. 堆排序的思想

     堆是一棵完全二叉樹，任何一個節點的val不大於（最小堆）或者不小於（最大堆）其左右孩子節點的關鍵字。

    以最大堆為例，堆排序的基本思想是：

1)將初始待排序關鍵字序列(R1,R2....Rn)構建成大頂堆，此堆為初始的無序區；

2)將堆頂元素R[1]與最後一個元素R[n]交換，此時得到新的無序區(R1,R2,......Rn-1)和新的有序區(Rn),且滿足R[1,2...n-1]<=R[n];

3)由於交換後新的堆頂R[1]可能違反堆的性質，因此需要對當前無序區(R1,R2,......Rn-1)調整為新堆，然後再次將R[1]與無序區最後一個元素交換，得到新的無序區(R1,R2....Rn-2)和新的有序區(Rn-1,Rn)。不斷重複此過程直到有序區的元素個數為n-1，則整個排序過程完成。

    其實，堆排序最重要的兩部分就是：初始化堆和調整堆。

我們可以用下圖展示堆排序的過程：

給定一個整形陣列a[]={16,7,3,20,17,8}，對其進行堆排序。

1） 構建最大堆；

這一步驟只需要構建一個完全二叉樹即可；

2）初始化最大堆；

這一步驟需要不斷調整，使得堆成為最大堆。

調整從最後一個非葉子節點開始。每次調整都是從父節點、左孩子節點、右孩子節點三者中選擇最大者跟父節點進行交換(交換之後可能造成被交換的孩子節點不滿足堆的性質，因此每次交換之後要重新對被交換的孩子節點進行調整)。

3）排序，繼續調整最大堆；

堆頂20和3交換：

堆頂17和3交換：

堆頂16和3交換：

堆頂8（7）和3交換：

   總的來說，堆排序就是一個不斷調整堆的過程。

    堆排序其實也是一種選擇排序，是一種樹形選擇排序。只不過直接選擇排序中，為了從R[1...n]中選擇最大記錄，需比較n-1次，然後從R[1...n-2]中選擇最大記錄需比較n-2次。事實上這n-2次比較中有很多已經在前面的n-1次比較中已經做過，而樹形選擇排序恰好利用樹形的特點儲存了部分前面的比較結果，因此可以減少比較次數。對於n個關鍵字序列，最壞情況下每個節點需比較log2(n)次，因此其最壞情況下時間複雜度為nlogn。

    堆排序為不穩定排序，不適合記錄較少的排序。

2. 程式設計實現堆排序

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std; 

// 調整堆函式
void HeapAdjust(int *a, int i, int size)  // a：陣列；i：節點index；size：樹的規模
{
	int lchild = 2 * i;   // 節點的左孩子編號
	int rchild = 2 * i + 1;   // 節點的右孩子編號
	int max = i;  //節點編號備份
	if(i <= size/2 - 1)
	{
		if(lchild <= size && a[lchild] > a[max])  // 左孩子比節點值要大
			max = lchild; 
		if(rchild <= size && a[rchild] > a[max])  // 右孩子比節點值要大
			max = rchild; 
		if(max != i)  // 如果上面發生了交換，也就是如果上面有if成立了
		{
			swap(a[i], a[max]);   // 首先要交換二者的真實值，因為上面只是index的交換
			HeapAdjust(a, max, size);  // 其次，需要判斷交換之後還需要重新調整嗎
		}
	}
}

//建立堆函式
void BuildHeap(int *a, int size)  
{
	int i; 
	for(i = size/2 - 1; i >= 0; i--)  // 非葉子節點最大序號值為size/2，需要遍歷所有的節點
	{
		HeapAdjust(a, i, size);   // 調整
	}
}

// 堆排序函式
void HeapSort(int *a, int size)
{
	int i; 
	BuildHeap(a, size); 
	for(i = size; i >= 0; i--)
	{
		swap(a[0], a[i]);  //  交換堆頂和最後一個元素，每次將剩餘元素中的最大者放到最後面
		HeapAdjust(a, 0, i-1);  // 重新調整堆頂節點成為大頂堆，這個時候就要除出最後一個元素，範圍是1~n-1
	}
}

int main()
{
	int a[] = {100, 16, 20, 3, 11, 17, 8};
	int size = 7; 
	HeapSort(a, size); 
	for(int i = 0; i < size; i++)
	{
		cout<<a[i]<<endl; 
	}
	cout<<endl; 

	return 0; 
}

參考連結：

http://www.cnblogs.com/dolphin0520/archive/2011/10/06/2199741.html