"綜合評分"的數學思考

今天在優化網站搜尋排序演算法，由此引出一個關於“綜合評分”的問題，併產生了一些思考，以下是以生活中的例子對這個問題做類比闡述。如果有更好的想法，歡迎多多交流！

關於“綜合評分”

綜合評分是獲得全面發展程度較高的一種衡量標準。
在科技不斷髮展的今天，不管是為人處事，還是做事業，能夠掌握足夠多的資訊，做到綜合評分出眾也會有很大的優勢。

德智體美勞是對人的素質定位的基本準則，也是人類社會教育的趨向目標。

** 以下主要以“考試”為例來聊一聊綜合評分的計算 **

綜合評分如何計算？

其實，我們的現實生活中已經給我們了很多的例子。
上高中時，考試有語數外+理綜/文綜，多科成績之和就是綜合考評標準。
上大學時，單科的成績也是由“考試得分”、“平時表現”兩項組成，綜合評分=考試得分 x 70% + 平時表現分 x 30%。

“考試”場景

這裡對原始“考試”場景做一些修改：

• 有4個考試科目，分別是語文、數學、英語、體育。
• 每個科目的權重分別是：30%，30%，30%，10%。
• 那麼計算綜合評分的公式就是：

** 個人綜合評分 ** = 語文得分 x 30% + 數學得分 x 30% + 英文得分 x 30% + 體育得分 x 10%

用表格舉例如下：

上面計算公式成立的兩個條件：

• 1：每個科目的滿分是一樣的
• 2：每個科目的滿分都是100分

一個假設

** 每個科目都沒有滿分，學生只要有能力，單科的成績可以是任意高分。**

這樣以來，以上的兩個條件都不再成立。同時，使用以上的計算公式得到的結果也不再有意義。

對這個假設的思考

仔細思考了這個問題，以上的“一個假設”如果真的存在，那麼我們新的綜合評分公式應該達到什麼樣的目的？

• 綜合評分不能被單科成績過度影響，同時單科特別優秀在綜合評分中也要有所體現。
• 保證全面發展的學生得到較好的評分
• 多個學覇/學渣同時出現時，綜合評分要有所區別。

如果這個假設存在，似乎沒有更好的辦法來解決。

一個解決辦法：降低需求

我首先想到的辦法是，降低需求。對每個學科設定一個最高分，比如200分，而不是上面提到的任意高分。那就是說，一個學生再牛X，也只能得到200分（也許他的能力可以得到2000分）。這樣以來，依然可以用加權和方式來計算綜合評分。

這樣做會引出的一個小問題：就是單個科目中，本來有一個學生是可以得到2000分的，但現在只能拿到200分。這樣以來，學渣和學覇的差距就減小了很多。看起來並沒有什麼大問題，但學覇的超強優勢也被我們這個演算法所掩蓋。

這樣做確實解決了問題，但這是最優的解決辦法嗎？

嘗試的解決方法

主要思路：對每個科目的得分，等比縮放為百分制。然後再用“加權和”計算綜合評分

縮放方式一：按最高分縮放

縮放方法：將單科的最高分縮放為100分，得到一個縮放比例。對其它學生的得分按這個比例進行縮放。

縮放方式二：按平均值縮放

具體方法：按得分最高的前N（這裡取5做測試）個學生的平均分為基準，對所有學生的得分進行縮放。如果縮放後超過100分，按100分計算

所有科目得分縮放後，“百分制得分”計算加權和效果：

按平均值縮放的效果基本滿意。如果您有更好的方式來計算這個綜合評分，請不吝賜教！

最後，再附上一個例子說明動態計算得分的必要性：

圖1展示未縮放（原始得分）進行綜合得分計算，學生A的排名也就是並列第二。
問題：在數學這一科目中，學生A是有明顯優勢的，因此應該縮放，保證學生A的特殊才能得到充分展示

圖2展示縮放後，學生A可以得到第一名。