我們仔細研究了Nim遊戲，並且瞭解了找出必勝策略的方法。但如果把Nim的規則略加改變，你還能很快找出必勝策略嗎？比如說：有n堆石子，每次可以從第1堆石子裡取1顆、2顆或3顆，可以從第2堆石子裡取奇數顆，可以從第3堆及以後石子裡取任意顆……這時看上去問題複雜了很多，但相信你如果掌握了本節的內容，類似的千變萬化的問題都是不成問題的。
現在我們來研究一個看上去似乎更為一般的遊戲：給定一個有向無環圖和一個起始頂點上的一枚棋子，兩名選手交替的將這枚棋子沿有向邊進行移動，無法移動者判負。事實上，這個遊戲可以認為是所有Impartial Combinatorial Games的抽象模型。也就是說，任何一個ICG都可以通過把每個局面看成一個頂點，對每個局面和它的子局面連一條有向邊來抽象成這個“有向圖遊戲”。下面我們就在有向無環圖的頂點上定義Sprague-Garundy函式。
首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於一個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
對於一個給定的有向無環圖，定義關於圖的每個頂點的Sprague-Garundy函式g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的後繼 }。
來看一下SG函式的性質。首先，所有的terminal position所對應的頂點，也就是沒有出邊的頂點，其SG值為0，因為它的後繼集合是空集。然後對於一個g(x)=0的頂點x，它的所有後繼y都滿足g(y)!=0。對於一個g(x)!=0的頂點，必定存在一個後繼y滿足g(y)=0。
（
這樣我們完全可以對應到我們的Ｐ/Ｎ分析上來，Ｐ表示必敗點(g(x) == 0，所有後繼g(y)都不等於0（也即都是必勝點）)：所有能夠到達的點全是必勝點 。
N表示必勝點(g(y) != 0,，所有後繼g(y)肯定存在g(y) == 0的，(也即存在必敗點))：能夠達到必敗點的點
）
以上這三句話表明，頂點x所代表的postion是P-position當且僅當g(x)=0（跟P-positioin/N-position的定義的那三句話是完全對應的）。我們通過計算有向無環圖的每個頂點的SG值，就可以對每種局面找到必勝策略了。但SG函式的用途遠沒有這樣簡單。如果將有向圖遊戲變複雜一點，比如說，有向圖上並不是只有一枚棋子，而是有n枚棋子，每次可以任選一顆進行移動，這時，怎樣找到必勝策略呢？
讓我們再來考慮一下頂點的SG值的意義。當g(x)=k時，表明對於任意一個0<=i<k，都存在x的一個後繼y滿足g(y)=i。也就是說，當某枚棋子的SG值是k時，我們可以把它變成0、變成1、……、變成k-1，但絕對不能保持k不變。不知道你能不能根據這個聯想到Nim遊戲，Nim遊戲的規則就是：每次選擇一堆數量為k的石子，可以把它變成0、變成1、……、變成k-1，但絕對不能保持k不變。這表明，如果將n枚棋子所在的頂點的SG值看作n堆相應數量的石子，那麼這個Nim遊戲的每個必勝策略都對應於原來這n枚棋子的必勝策略！
對於n個棋子，設它們對應的頂點的SG值分別為(a1,a2,...,an)，再設局面(a1,a2,...,an)時的Nim遊戲的一種必勝策略是把ai變成k，那麼原遊戲的一種必勝策略就是把第i枚棋子移動到一個SG值為k的頂點。這聽上去有點過於神奇——怎麼繞了一圈又回到Nim遊戲上了。
其實我們還是隻要證明這種多棋子的有向圖遊戲的局面是P-position當且僅當所有棋子所在的位置的SG函式的異或為0。這個證明與上節的Bouton's Theorem幾乎是完全相同的，只需要適當的改幾個名詞就行了。
剛才，我為了使問題看上去更容易一些，認為n枚棋子是在一個有向圖上移動。但如果不是在一個有向圖上，而是每個棋子在一個有向圖上，每次可以任選一個棋子（也就是任選一個有向圖）進行移動，這樣也不會給結論帶來任何變化。
所以我們可以定義有向圖遊戲的和(Sum of Graph Games)：設G1、G2、……、Gn是n個有向圖遊戲，定義遊戲G是G1、G2、……、Gn的和(Sum)，遊戲G的移動規則是：任選一個子遊戲Gi並移動上面的棋子。Sprague-Grundy Theorem就是：g(G)=g(G1)^g(G2)^...^g(Gn)。也就是說，遊戲的和的SG函式值是它的所有子游戲的SG函式值的異或。
再考慮在本文一開頭的一句話：任何一個ICG都可以抽象成一個有向圖遊戲。所以“SG函式”和“遊戲的和”的概念就不是侷限於有向圖遊戲。我們給每個ICG的每個position定義SG值，也可以定義n個ICG的和。所以說當我們面對由n個遊戲組合成的一個遊戲時，只需對於每個遊戲找出求它的每個局面的SG值的方法，就可以把這些SG值全部看成Nim的石子堆，然後依照找Nim的必勝策略的方法來找這個遊戲的必勝策略了！
回到本文開頭的問題。有n堆石子，每次可以從第1堆石子裡取1顆、2顆或3顆，可以從第2堆石子裡取奇數顆，可以從第3堆及以後石子裡取任意顆……我們可以把它看作3個子遊戲，第1個子遊戲只有一堆石子，每次可以取1、2、3顆，很容易看出x顆石子的局面的SG值是x%4。第2個子遊戲也是隻有一堆石子，每次可以取奇數顆，經過簡單的畫圖可以知道這個遊戲有x顆石子時的SG值是x%2。第3個遊戲有n-2堆石子，就是一個Nim遊戲。對於原遊戲的每個局面，把三個子游戲的SG值異或一下就得到了整個遊戲的SG值，然後就可以根據這個SG值判斷是否有必勝策略以及做出決策了。其實看作3個子遊戲還是保守了些，乾脆看作n個子遊戲，其中第1、2個子遊戲如上所述，第3個及以後的子游戲都是“1堆石子，每次取幾顆都可以”，稱為“任取石子游戲”，這個超簡單的遊戲有x顆石子的SG值顯然就是x。其實，n堆石子的Nim遊戲本身不就是n個“任取石子游戲”的和嗎？
所以，對於我們來說，SG函式與“遊戲的和”的概念不是讓我們去組合、製造稀奇古怪的遊戲，而是把遇到的看上去有些複雜的遊戲試圖分成若干個子游戲，對於每個比原遊戲簡化很多的子游戲找出它的SG函式，然後全部異或起來就得到了原遊戲的SG函式，就可以解決原遊戲了
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