動態規劃0-1揹包

題目：一個揹包有一定的承重cap，有N件物品，每件都有自己的價值，記錄在陣列v中，也都有自己的重量，記錄在陣列w中，每件物品只能選擇要裝入揹包還是不裝入揹包，要求在不超過揹包承重的前提下，選出物品的總價值最大。給定物品的重量w價值v及物品數n和承重cap。請返回最大總價值。

[1,2,3],[1,2,3],3,6返回：6

思路：

N件物品，每一件有自己的重量和自己的價值，分別用一個陣列給出，揹包有一個限制總重量為cap，要求在滿足重量不超過cap的前提下，向背包中裝入物品，使得總的價值最大，求出最大價值

dp[i][j],即使用前i個物品,在重量不超過j時的最大價值為dp[i][j]，注意對於重量，由於只給定了最大的範圍cap，但是在分解問題時應該將其從0開始列舉，即列舉重量從0開始直到cap，總共有cap+1個值，同理對於找零錢問題，只給定了一個最大值aim，但是在分解為題時應該從0開始直到aim考慮aim+1個值。

初始條件：

第一行的值，表示使用第一將物品w[0]來裝包，顯然當容量小於w[0]時無法裝入因此價值為0，之後可以裝入，於是最大價值顯然就是v[0]=4;

第一列的值，表示使用前i個物品來裝包，當容量為0時的最大價值，顯然一個都放不下，所以價值都為0。

對於任意的dp[i][j]2種情況：第i件物品放還是不放：

（1）如果i物品不裝入，dp[i-1][j];

（2）如果i物品裝入，物品i的重量為w[i]，物品i的價值為v[i]，那麼即是求在重量限制j-w[i]條件下的最大價值，即轉變為求dp[i-1][j-w[i]]，求的dp[i-1][j-w[i]]後，此時的價值為dp[i-1][j-w[i]]+v[i]

即dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j]；dp[i-1][j-w[i]]+v[i])；需要注意的是，在求dp[i-1][j-w[i]]時，對於有些j並不一定大於w[i]，即j-w[i]，此時表示無法裝入物品i，於是此時dp[i][j]應該直接等於dp[i-1][j]；於是在求dp[i][j]時對j-w[i]進行一個if判斷然後使用Math.max判斷或者直接取dp[i-1][j]即可。

動態規劃4部曲：

①建立動態規劃二維陣列儲存答案dp[n][cap+1];

②計算第1行和第1列的元素值

第1行：從j=w[0]開始dp[0][j]=v[0];

第1列：dp[i][0]=0;

③從上到下,從左到右計算任意dp[i][j]，根據[j-w[i]<0使用不同的計算邏輯

④返回結果，右下角的值dp[n-1][aim]就是所求的結果；

程式碼二：只使用1個陣列，

public class Backpack {
    public int maxValue(int[] w, int[] v, int n, int cap) {
        // dp[x][y]表示物品數量為x,重量不超過y時揹包中的總價值
        //兩種情況：1.將x物品不加入到揹包中，那麼前x-1件物品的總重量不應該超過y。dp[x][y] = dp[x-1][y]
                //2.將x物品加入到揹包中，那麼前x-1前物品的總重量不應該超過y-w(x),因此dp[x][y] = dp[x-1][y-w(x)]+v(x);
        int[] dp = new int[cap+1];
          
        for(int i=0;i<n;i++){//控制物品的數量
            for(int j=cap;j>=w[i];j--){//空揹包中不能超重
                dp[j] = dp[j]>=dp[j-w[i]]+v[i]?dp[j]:dp[j-w[i]]+v[i];//選取j加入書包與j不加入書包的較大值
            }
        }
          
        return dp[cap];//返回陣列的最後一位即是最大總價值
      
    }
}