SPOJ PGCD - Primes in GCD Table (好題! 莫比烏斯反演＋分塊求和優化)

PGCD - Primes in GCD Table

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題目連結：http://www.spoj.com/problems/PGCD/

題目大意：1 <= x <= n，1 <= y <= m，求gcd(x, y)為素數的對數

題目分析：和前一題比只是多了一個上界，難度立馬變大

學習了這篇部落格才解決了這題http://www.cnblogs.com/iwtwiioi/p/4132095.html

為滿足且和的的對數

為滿足且和的的對數

 那麼，很顯然，反演後得到

因為題目要求是為質數，那麼我們列舉每一個質數，然後得到

設T=pd，那麼問題可以轉換為：

將問題轉換為列舉T得：

化簡得

設

那麼原式變成

那麼我們只需要考慮如何計算g[x]即可！而且如果p不是質數或者p∤T，那麼g[x]=0

我們發現g[x]似乎可以線上性篩的時候預處理出？x=k×p,p為質數的情況，可得：

首先根據定義，此時

首先考慮p|k時，有kp質因子p的指數>=2

1、當p′=p，那麼約掉後還剩下μ(k)

2、當p′≠p，那麼p的質數>=2，根據莫比烏斯函式的定義，為0

因此式1+式2=μ(k)

考慮p∤k時，有kp質因子p的指數=1

1、當p′=p，那麼約掉後同樣是μ(k)

2、當p′≠p，那麼因為μ是積性函式，且p與kp′互質，那麼得到μ(p)μ(kp′)，然後提出和式。因為μ(p)=−1，而和式內的和恰好就是g[k]的定義，因此這種情況的個數為−g[k]

因此式1+式2=μ(k)−g[k]

最後分塊求和然後乘起來

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int const MAX = 1e7 + 5;
int mob[MAX], p[MAX], g[MAX], sum[MAX];
bool noprime[MAX];

int Mobius()
{
    mob[1] = 1;
    int pnum = 0;
    for(int i = 2; i < MAX; i++)
    {
        if(!noprime[i])
        {
            p[pnum ++] = i;
            mob[i] = -1;
            g[i] = 1;
        }
        for(int j = 0; j < pnum && i * p[j] < MAX; j++)
        {
            noprime[i * p[j]] = true;
            if(i % p[j] == 0)
            {
                mob[i * p[j]] = 0;
                g[i * p[j]] = mob[i];
                break; 
            }
            mob[i * p[j]] = -mob[i];
            g[i * p[j]] = mob[i] - g[i];
        }
        sum[i] = sum[i - 1] + g[i];
    }
}

ll cal(int l, int r)
{
    ll ans = 0;
    if(l > r)
        swap(l, r);
    for(int i = 1, last = 0; i <= l; i = last + 1)
    {
        last = min(l / (l / i), r / (r / i));
        ans += (ll) (l / i) * (r / i) * (sum[last] - sum[i - 1]);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    Mobius();
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        int l, r;
        scanf("%d %d", &l, &r);
        printf("%lld\n", cal(l, r));
    }
}