LintCode - A + B 問題（普通）

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難度：普通

要求：

給出兩個整數a和b, 求他們的和, 但不能使用 +等數學運算子。
** 注意事項
你不需要從輸入流讀入資料，只需要根據aplusb的兩個引數a和b，計算他們的和並返回就行。
說明
a和b都是 32位
整數麼？
是的
我可以使用位運算子麼？
當然可以
樣例如果 a=1並且 b=2，返回3

思路：

用位運算實現加法也就是計算機用二進位制進行運算，32位的CPU只能表示32位內的數，這裡先用1位數的加法來進行，在不考慮進位的基礎上，如下
1 + 1 = 0
1 + 0 = 1
0 + 1 = 1
0 + 0 = 0

很明顯這幾個表示式可以用位運算的“^”來代替，如下
1 ^ 1 = 0
1 ^ 0 = 1
0 ^ 1 = 1
0 ^ 0 = 0

這樣我們就完成了簡單的一位數加法，那麼要進行二位的加法，這個方法可行不可行呢？肯定是不行的，矛盾就在於，如何去獲取進位？要獲取進位我們可以如下思考：
0 + 0 = 0
1 + 0 = 0
0 + 1 = 0
1 + 1 = 1
//換個角度看就是這樣
0 & 0 = 不進位
1 & 0 = 不進位
0 & 1 = 不進位
1 & 1 = 進位

正好，在位運算中，我們用“<<”表示向左移動一位，也就是“進位”。那麼我們就可以得到如下的表示式
//進位可以用如下表示：
(x&y)<<1

到這裡，我們基本上擁有了這樣兩個表示式
x^y //執行加法
(x&y)<<1 //進位操作

現總結如下：

定理1：
設a，b為兩個二進位制數，則a+b = a^b + (a&b)<<1。證明：a^b是不考慮進位時加法結果。當二進位制位同時為1時，才有進位，因此 (a&b)<<1是進位產生的值，稱為進位補償。將兩者相加便是完整加法結果。
定理2：
使用定理1可以實現只用位運算進行加法運算。證明：利用定理1中的等式不停對自身進行迭代。每迭代一次，進位補償右邊就多一位0，因此最多需要加數二進位制位長度次迭代，進位補償就變為0，這時運算結束。

class Solution {
    /*
     * param a: The first integer
     * param b: The second integer
     * return: The sum of a and b
     */
    public int aplusb(int a, int b) {
        // write your code here, try to do it without arithmetic operators.
        if(a==0)return b;  
        if(b==0)return a;  
        int x = a^b;  //記錄不進位數
        int y = (a&b)<<1;  //記錄進位數
        return aplusb(x,y); //然後遞迴 上述不進位結果 + 進位結果，最終進位為0，則返回最終結果
    }
};