Gossip協議-推導運算分析

簡介

Gossip協議又稱傳染病協議，因為gossip(流言)以類似於病毒的方式在計算機之間傳播資訊。

Gossip協議滿足的條件

1. 協議的核心包括週期性，成對性，內部程式互動
2. 互動期間的資訊量大小固定
3. 節點互動後，至少一個agent獲知另一個agent的狀態
4. 通訊不可靠
5. 交流的頻率遠遠低於訊息的傳輸延遲
6. 對端選擇的隨機性，或者從全集，或者從部分集合
7. 由於副本的存在，傳輸的資訊具有隱式冗餘

Gossip協議舉例

假設我們在一個網路中尋找一個pattern的最優匹配，機器上執行著agent 程式，這些agents實現了gossip協議

1. 使用者首先要求local agent傳播pattern
2. 每一個agent定期並以一定的速率（0.1秒一次）隨機選擇一個其他的節點傳播此pattern。例如節點A和B，如果A知道了pattern，那麼B也會知道，隨後A和B隨機選擇了C和D繼續傳播此訊息。因此即使發生節點故障或者訊息丟失，此訊息依然會在全網範圍內傳播。
3. 如果agent第一次收到此pattern，則開啟本地查詢，尋找本地的最優匹配
4. agents也傳播其最優匹配。因此，如果A和B進行互動後，A和B都會知道最優匹配。最優匹配也會通過全網範圍進行傳播。
5. Log時間的複雜度，例如25000個節點，那麼30輪就會結束，15輪進行pattern的傳播，15輪詢問最優匹配。

有偏Gossip協議

不是從全部節點中隨機選擇一個，考慮到網路延遲，從相鄰的節點中隨機選擇，更高效。

為何是log時間

變數定義

初始$1$個人，全部$n$個人，一個人每次感染$b$個人，則感染率為$p = b/(n-1)$
令第$i$輪有$x_i$個人被感染，$n-x_i$未感染
則第$i+1$被感染的新的人數為$x_i * p * (n-x_i)$
即$x_{i+1} = x_i + x_i * p * (n-x_i)$，且$x_1 = 1$

證明

這$x_i$個人中每一個人能夠感染的新人為： $b * (n-x_i)/(n-1)$
則一共$x_i$個人貢獻的感染人數為： $x_i * b * (n-x_i) / (n-1) = x_i * p * (n-x_i)$
##推導$x_t$
一種方案是解通項公式，對$x_{i+1}$進行轉換
$x_{i+1} = A * x_i^2 + B * x_i + C \\ = A(x_i-B/2A)^2 + C - B^2/(4A)\\ 其中 A=-pn, B=pn+1, C=0$
令$x_i = a_i + B/(2A)$代入到上式中，則
$a_{i+1} = P * a_i^2 + Q\\ 且滿足\ P = A, Q = (4AC - B^2 + 2B)$
於是現在的問題轉換為如何解出$a_{i+1}$，然而我並沒有想到很好的解法，不知道能否通過展開求級數？

另一種方案是採用微分方程的方式，然而並不完全可靠
一些簡單的分析：
分析1： 由$x_{i+1} = x_{i}+1$，可推匯出$x_{i+1}-x_i=1$，即$\frac{dy}{dt} = 1$，從而可以解出$y = t$，即$x_t=t$。
分析2： 由$x_{i+1} = 2*x_{i}$，可推匯出$x_{i+1}-x_i=x_i$，
即$\frac{dy}{dt} = y$，從而可以解出$\ln{y} = t$，即$x_t=e^t$，然而實際上我們可以手動計算此通項，即$x_t = 2^t$，這兩個是不一樣的，然而我們可以看出它們的指數是一樣的$t$，僅僅是底數不同而已，同理，可使用其他類似的式子進行測試，它的總體指數趨勢是不變的，變的僅僅是底數而已，於是我想當然的利用這一特性（個人感覺應該可行）！

由$x_{i+1} = x_i + x_i * p * (n-x_i)$，得$x_{i+1}-x_i = x_i * p * (n-x_i)$，故而$\frac{dy}{dt} = y * p * (n-y)$
對上次進行積分過程如下：
$\frac{dy}{dt} = y * p * (n-y)\\ \frac{dy}{y*(n-y)} = p*dt\\ \frac{dy}{y} + \frac{dy}{n-y} = p * n * dt\\ 積分可得： \ln{y}-\ln{n-y} = p*n*t \\ \ln{\frac{y}{n-y}} = p*n*t\\$
當$n$非常大的時候，可令$y=n-1$，且$p*n \approx b, n \approx n-1$，則
$\ln{n} = b*t$，即$t = \frac{\ln{n}}{b}$，故而得出經過$\frac{\ln{n}}{b}$輪，有$n-1$個人被感染，也可認為全部被感染。
考慮到上面在轉化為積分過程中，會有底數的不一致性，因此也就是時間複雜度為$c\log{n}$級別。